skript.tex

\documentclass[12pt]{scrartcl}%{article} % Beginn der LaTeX-Datei
\usepackage{mathtools,amsmath,amssymb,amsthm} % erleichtert Mathe 
\addtolength{\jot}{0.2em}

% Schicke Nummerierung
\usepackage{enumitem}
% Kleinere itemize-Bulletpoints
\newcommand{\sbt}{\,\begin{picture}(-1,1)(-1,-3)\circle*{3}\end{picture}\ }
\renewcommand{\labelitemi}{\sbt}

\usepackage{graphicx} % für Grafik-Einbindung
\usepackage{float} 
%\usepackage[dvips]{hyperref}
\usepackage{tikz-cd}
\tikzset{ % das braucht man für die kommutativen Diagramme, wenn man babel german benutzt!!
	every picture/.append style={
		execute at begin picture={\shorthandoff{"}},
		execute at end picture={\shorthandon{"}}
	}
}
\usepackage{nicefrac}

% environments
\newtheorem{thm}{Satz}
\newtheorem{lemma}{Lemma}
\newtheorem{kor}{Korollar}
% definition-like stuff
\theoremstyle{definition}
\newtheorem*{defn}{Definition}
\newtheorem{ex}{Beispiel}
% remark-like stuff
\theoremstyle{remark}
\newtheorem*{notation}{Notation}
\newtheorem*{nb}{Bemerkung}

% commands
\DeclareMathOperator{\powerset}{\mathcal{P}}
\DeclareMathOperator{\sym}{Sym}
\DeclareMathOperator{\gl}{GL}
\DeclareMathOperator{\abb}{Abb}
\DeclareMathOperator\id{id}
\DeclareMathOperator\ord{ord}
\DeclareMathOperator\im{im}
\DeclareMathOperator\sgn{sgn}
\DeclareMathOperator\supp{supp}
\newcommand{\inv}[1]{\left(#1\right)^{-1}}
\newcommand{\Inv}[1]{#1^{-1}}

\usepackage[ngerman]{babel}
\usepackage[autostyle=true,german=quotes]{csquotes}
%\usepackage[T1]{fontenc}
%\usepackage{lmodern}
% Einstellungen, wenn man deutsch schreiben will, z.B. Trennregeln
%\usepackage[applemac]{inputenc}
\usepackage[utf8]{inputenc} % für Unix-Systeme

% TODO Bspw. ord wird zZ als drei Variablen (o, r, d) gesetzt. Zu einem vernünftigen Operator ändern?
	% Ich fang einfach mal damit an. -- Peter
% TODO Anführungszeichen sind bei mir alle falsch. Funktioniert das bei euch?
% TODO Einige Beweise sind schrecklich strukturiert und zum Teil rettbar fehlerhaft. Darf ich?
% TODO einheitliche subset-Notation?
	% Ich wäre für \subseteq und \subsetneq um Missverständnisse auszuschließen. -- Peter
% TODO emph statt underline?
	% Wär ich für. -- Peter
% TODO KatTheo-Notation für Funktionen oder nicht? (\xrightarrow{f})
% TODO Wir sollten mal über den massiven \\-Spam reden. Ich habe bisher eine sinnvolle Verwendung und ca. 10^4 unsinnige gesehen.
% TODO Die Nummerierungen sind inkonsitent. Spricht was dagegen, sich in der Präambel auf was zu einigen und die [label=(\roman*)] etc. rauszukanten?

\begin{document}

\author{Sebastian Bechtel, Isburg Knof, Theresa Tran} % FIXME Flo und Philipp?
\title{Einführung in die Algebra}
%\date weglassen -> Automatisch aktuelles Datum

\maketitle

\section{Gruppen}

\begin{defn}
	Eine (innere) \underline{Verknüpfung} auf einer Menge $M\neq \emptyset$ ist eine Abbildung $M\times M\to M, (a,b)\mapsto a\cdot b$.
\end{defn}

\begin{defn}
	Eine \underline{Gruppe} ist eine Menge $G\neq \emptyset$ zusammen mit einer Verknüpfung $\cdot$, sodass Assoziativität (A), Existenz eines neutralen Elements (N) und Existenz inverser Elemente (I) erfüllt sind. $G$ ist \underline{abelsch}, falls Kommutativität (K) gilt.
\end{defn}

\begin{ex}
	\begin{enumerate}
		\item $\mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}$ sind abelsche Gruppen mit $+$ als Verknüpfung.
		\item $\mathbb{Q}^*=\mathbb{Q}\setminus \{0\}, \mathbb{R}^*, \mathbb{C}^*$ mit Multiplikation sind abelsche Gruppen.
		\item Für eine Menge $M$ ist $\sym(M)$ ist eine Gruppe, aber für $|M| > 2$ nicht abelsch.
	\end{enumerate}
\end{ex}

\begin{lemma}
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item Das neutrale Element ist eindeutig.
		\item Inverse Elemente sind eindeutig.
	\end{enumerate}
\end{lemma}

\begin{proof}
	\begin{enumerate}[label=\alph*)]
		\item Seien $e,f$ neutrale Elemente, dann gilt $e=ef=f$.
		\item Sei $a\in G$ und $b,b'\in G$ inverse Elemente. Dann gilt $b'=b'e=b'(ab)=(b'a)b=eb=b$.
	\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{notation}
	multiplikativ: $a\cdot b$ oder $ab$, neutrales Element $e$ oder $1$, inverses Element von $a\in G$ ist $\Inv a$.
\end{notation}

\begin{lemma}
	Es sei $\mathcal{G}=(G,\cdot)$ eine Menge mit assoziativer Verknüpfung, einem linksneutralen Element und linksinversen Elementen, dann ist $\mathcal{G}$ eine Gruppe.
\end{lemma}

\begin{proof}
	Sei $a\in G$ und $b\in G$ mit $ba=e$. Nach (I') gibt es $c\in G$ mit $cb=e$. Also $ab=eab=cbab=ceb=cb=e$.

	Sei nun $a\in G$, es gilt $ae=a(\Inv aa)=ea=a$.
\end{proof}

\begin{lemma}
	\begin{enumerate}
		\item $\inv{\Inv{a}}=a$, $\inv{ab}=\Inv b\Inv a$
		\item $ab=ac$ impliziert $b=c$ für alle $a,b,c\in G$.
		\item für $a,b\in G$ gibt es genau ein $x\in G$, sodass $ax=b$.
	\end{enumerate}
\end{lemma}

\begin{proof}
	\begin{enumerate}
		\item $\inv{\Inv a}=a$ klar. Für $a,b\in G$: $(\Inv b\Inv a)ab=\Inv b(\Inv aa)b=\Inv beb=\Inv bb=e$ (andere Richtung analog) % FIXME Welche andere Richtung?
		\item $ab=ac$ impliziert $\Inv a(ab)=\Inv a(ac)$ impliziert $b=c$
		\item Setze $x=\Inv ab$, dann erhält man $ax=a(\Inv ab)=(a\Inv a)b=eb=b$.
		Die Eindeutigkeit folgt aus Punkt 2. \qedhere
	\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{defn}
	Sei $a\in G$, $(G,\cdot)$ Gruppe. Für $n\in \mathbb{Z}$ definiere:
	$$a^0:=e, \quad a^n:=a^{n-1}a \quad \text{ für } n\geq 1$$
	$$a^n:=\left(\Inv a\right)^{-n} \quad \text{ für } n < 0$$
\end{defn}

\begin{lemma}
	Für $a\in G$ gelten $a^n a^m=a^{n+m}=a^m a^n$ und $\left(a^m \right)^n = a^{n\cdot m}$.
	$ab=ba$ impliziert $\left(ab \right)^n = a^n b^n$.
\end{lemma}

\begin{ex}
	\begin{enumerate}
		\item $K$ Körper, dann ist $\gl_n(K)$ ein Gruppe bzgl. Matrixmultiplikation.
		\item $M\neq \emptyset$ Menge, $(G, \cdot)$ Gruppe, definiere $\abb(M,G):=G^M$. Für $f,g\in \abb(M,G)$ ist $f\cdot g$ gegeben durch $(f\cdot g)(m)=f(m)\cdot g(m)$ für $m\in M$. Dann ist $(\abb(M,G), \cdot)$ eine Gruppe.
	\end{enumerate}
\end{ex}



\section{Untergruppen}

\begin{defn}
	Sei $(G, \cdot)$ Gruppe. Eine Teilmenge $H\subset G$ heißt Untergruppe von $G$, falls $(H, \cdot)$ eine Gruppe ist.

	Äquivalent dazu:
	\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
		\item Für $a,b\in H$ gilt $ab\in H$ (Abgeschlossenheit)
		\item $e\in H$
		\item Für $a\in H$ ist $\Inv a \in H$
	\end{enumerate}
\end{defn}

\begin{thm}
	Sei $(G, \cdot)$ Gruppe und $H\subset G$ nicht-leer. Dann gilt: $H$ ist eine Untergruppe von $(G, \cdot)$ gdw. $a\Inv b\in H$ für $a,b\in H$.
\end{thm}

\begin{proof}
	"$\Rightarrow$" \checkmark

	"$\Leftarrow$"
	\begin{itemize}
		\item $a=b$ impliziert $e\in H$
		\item $e,a\in H$ impliziert $e\Inv a\in H$ impliziert $\Inv a \in H$
		\item $a,\Inv b\in H$ impliziert $a\inv{\Inv b} \in H$ impliziert $ab\in H$ \qedhere
	\end{itemize}
\end{proof}

\begin{ex}
	\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
		\item Für alle Gruppen $(G,\cdot)$ sind $\{e\}$ und $G$ jeweils Untergruppen, die sogenannten \emph{trivialen Untergruppen}.
		\item $K$ Körper. $\text{SL}_n(K)=\{A\in M_n(K): \det(A)=1\}$ induziert Untergruppe von $\gl_n(K)$, die spezielle lineare Gruppe.
	\end{enumerate}
\end{ex}

\begin{defn}
	Eine Untergruppe heißt \underline{echt}, falls sie nicht trivial ist.
\end{defn}

\begin{lemma}
	Es sei $(H_{j})_{j \in J}$ eine Familie von Untergruppen $H_{j} \subset G$. Dann ist $\bigcap_{j \in J}H_{j}$ eine Untergruppe von G.
\end{lemma}

\begin{proof}
	Übung
\end{proof}

\begin{defn}
	Es sei $M$ eine Teilmenge von $G$. Die \underline{von $M$ erzeugte Untergruppe} ist der Durchschnitt aller Untergruppen, die $M$ enthalten.
\end{defn}

\begin{notation}
	$\langle M \rangle =\bigcap_{M \subset H \subset G}H$, wobei $H$ Untergruppe
\end{notation}

\begin{nb}
	\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
		\item $\langle \emptyset \rangle = \lbrace e \rbrace$
		\item Für $M \neq \emptyset$ gilt: $\langle M \rangle = \lbrace m_{1}^{\varepsilon_{1}} \cdot ... \cdot m_{n}^{\varepsilon_{n}} : m_{1},...,m_{n} \in M, \varepsilon_{1},...,\varepsilon_{n} \in \lbrace -1,+1\rbrace, n \geq 0 \rbrace$
		\item Für $M = \lbrace g \rbrace$ gilt: $\langle g \rangle = \lbrace g^{n} : n \in \mathbb{Z} \rbrace$. Diese Untergruppe wird die von $g$ erzeugte zyklische Untergruppe von $G$ genannt.
	\end{enumerate}
\end{nb}

\begin{defn}
	Eine Gruppe $G$ heißt \underline{zyklisch}, falls $G = \langle g \rangle$ für ein $g \in G$ gilt. \newline
	Ist $G = \langle M \rangle$ mit $M$ endlich, so heißt $G$ \underline{endlich erzeugt}.
\end{defn}

\begin{defn}
	\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
		\item Die \underline{Ordnung einer Gruppe} $G$ ist $\ord(G):=\vert G \vert$.
		\item Die \underline{Ordnung eines Elements} $g \in G$ ist $\ord(g):=\ord(\langle g \rangle)$.
		\item Ist $\ord(g)$ endlich, dann hat g \underline{endliche Ordnung}.
	\end{enumerate}
\end{defn}

\begin{notation}
	$(n,s)$ bezeichnet den größten gemeinsamen Teiler.
\end{notation}

\begin{thm}
	Sei $G$ Gruppe, $g \in G$
	\begin{enumerate}
		\item g hat nicht endliche Ordnung $\Longleftrightarrow$ alle Potenzen von g sind verschieden
		\item g hat endliche Ordnung $\Longleftrightarrow$ $\exists m>0: g^{m}=e$ \newline Dann gilt:
			\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
				\item $n := \ord(g) = \min \lbrace m>0 : g^{m}=e \rbrace$
				\item $g^{m}=e \Longleftrightarrow m=nk$ für ein $k \in \mathbb{Z}$
				\item $\langle g \rangle = \lbrace e, g^{1},...,g^{n-1}\rbrace$
			\end{enumerate}
		\item $\ord(g^{s}) = \frac{n}{(n,s)}$ für $n = \ord(g)$ endlich
	\end{enumerate}
\end{thm}

\begin{proof}
	\begin{enumerate}
		\item Wir nehmen an: Für $i,j \in \mathbb{Z}$, oBdA $j>i$ gilt $g^{i}=g^{j}$.
		Dann gilt $g^{j-i}=g^{j}(g^{i})^{-1}=e$.
		Es sei dann n die kleinste positive Zahl, die $g^{n}=e$ erfüllt.
		Sei $m \in \mathbb{Z}$ beliebig.
		Der Divisionsalgorithmus liefert: $m=kn+r$ für $0 \leq r < n$ und $k,r \in \mathbb{Z}$.

		Dann gilt:
		$g^{m}=g^{kn+r}=g^{kn}g^{r}=(g^{n})^{k}g^{r}=eg^{r}=g^{r}$.
		Daraus folgt $\langle g \rangle = \lbrace g^{m} : m \in \mathbb{Z}\rbrace = \lbrace g^{r} : r=0,...,n-1\rbrace$.
		Besonders gilt $\ord(g)=n$ ist endlich.
		$\lceil$ Dies zeigt $\Rightarrow$, $\Leftarrow$ klar, dann ist $\langle g \rangle = \lbrace g^{m} : m \in \mathbb{Z}\rbrace$ unendlich $\rfloor$
		\item Alle $g^{r}$ mit $0 \leq r \leq n-1$ sind verschieden, da:
		$g^{i}=g^{j} \Rightarrow g^{j-i}=e \Rightarrow j-i = kn$ mit $k\in\mathbb{Z} \Rightarrow i \equiv j \pmod{n} \Rightarrow i=j$ falls $0\leq i,j\leq n-1$.
		Dies liefert $g^{r}$ mit $0 \leq r \leq n-1$ sind paarweise verschieden und es gilt: $\ord(g)=n$. $\lceil a$ und $c\rfloor$
		Aus dem Divisionsalgorithmus folgt (b): $g^{m}=e \Leftrightarrow e=g^{kn+r}=g^{r}$ mit $m = kn+r, 0 \leq r < n \Leftrightarrow r=0$.
		Also $m=kn$ mit $k \in \mathbb{Z}$. % FIXME Scoping-Katastrophe.
		\item Es sei $m=\ord(g^{s}), n =\ord(g)$.
		Aus $(g^{s})^{m}=e$ folgt (siehe 2), dass $n$ ein Teiler von $sm$ ist.
		Dies liefert: $\frac{n}{(s,n)} \vert \frac{s}{(s,n)}m$. Somit $\frac{n}{(s,n)} \vert m$.
		Nun möchten wir noch zeigen: $m \vert \frac{n}{(s,n)}$. $(g^{s})^{\frac{n}{(s,n)}} = (g^{n})^{\frac{s}{(s,n)}}=e^{\frac{s}{(s,n)}}=e$.
		Daraus folgt $m \vert \frac{n}{(s,n)}$ (wegen 2).
		Also gilt $m = \frac{n}{(s,n)}$. \qedhere
	\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{lemma}
	Es sei $G = \langle g \rangle$ eine zyklische Gruppe und $H \subset G,\; H\neq\{e\}$ eine Untergruppe von $G$. Dann gibt es ein $m\in\mathbb{N}$ mit $H=\langle g^m\rangle$.
\end{lemma}

\begin{proof}
	Wir setzen: $m := min \lbrace k>0 : g^{k} \in H \rbrace$. Die betrachtete Menge ist dabei nicht-leer, denn ist $h \in H, h \neq e$, dann gilt $h = g^{k}$ für ein $k\in\mathbb{Z}$, da $g$ Erzeuger von $G$ ist. Ist $k>0$, so ist $k$ in der Menge. Ist $k<0$, so gilt $g^{-k}=\inv{{g^k}}=\Inv{h}\in H$ und damit ist $-k$ in der Menge enthalten. Wir wollen nun zeigen: $\langle g^{m} \rangle = H$.
	\begin{enumerate}
		\item $\langle g^{m} \rangle \subset H$ gilt wegen $g^{m} \in H$
		\item Es sei $j \in \mathbb{Z}$ mit $g^{j} \in H$. Divisionsalgorithmus liefert $j=lm+r$ mit $0 \leq r < m$: $g^{j} \in H \Rightarrow g^{r}=g^{-lm}g^{lm+r}=(g^{m})^{-l}g^{j}$. Also $g^{r} \in H$. Aus der Minimalität von M folgt $r=0$. Dies liefert $g^{j}=(g^{m})^{l} \in \langle g^{m} \rangle$ und somit gilt: $H \subset \langle g^{m} \rangle$ und die zwei Untergruppen stimmen überein. \qedhere
	\end{enumerate}
\end{proof}

Ähnlich kann man zeigen:

\begin{thm}
	Alle Untergruppen einer zyklischen Gruppe sind zyklisch. Ist $\ord(G)=n$ endlich und $m$ ein Teiler von $n$, so ist $H = \langle g^{\frac{n}{m}}\rangle$ die einzige Untergruppe der Ordnung $m$. % FIXME Beweis?
\end{thm}

\begin{defn}
	Sei $H$ eine Untergruppe der Gruppe $G$. Dann kann man die folgende Äquivalenzrelation definieren: \newline $(x,y) \in G^{2}: x \sim_{H} y \Leftrightarrow x = yh$ für ein $h \in H$ \newline $\lceil$Äquivalenzrelation wegen Gruppenaxiomen für $H\rfloor$
\end{defn}

\begin{defn}
	Die Äquivalenzklassen bzgl. $\sim_{H}$ heißen \underline{Linksnebenklassen}.
\end{defn}

\begin{notation}
	Für $a \in G, aH = \{ah : h \in H\}$
\end{notation}

\begin{nb}
	Es gelten folgende Eigenschaften: 
	\begin{itemize}
		\item Die Abbildung $H \rightarrow aH, h \mapsto ah$ ist eine Bijektion. Besonders gilt: $\vert aH \vert = \vert H \vert$ für alle $a \in G$. \newline $\lceil$Die Abbildung ist bijektiv, da sie umkehrbar ist: $aH \rightarrow H, b \mapsto a^{-1}b$ ist die Umkehrfunktion$\rfloor$
		\item $aH \neq bH \Rightarrow aH \cap bH = \emptyset$, d.h. sie sind disjunkt. \newline $\lceil x \in aH \neq bH \Rightarrow x = ah_{1} = bh_{2}$ für $h_{1},h_{2} \in H \Rightarrow a=bh_{2}h_{1}^{-1} \in bH \Rightarrow ah= b(h_{2}h_{1}^{-1}h) \in bH$ für alle $h \in H \Rightarrow aH \subset bH$. Ähnlich gilt $bH \subset aH$. Daraus folgt $aH=bH.\rfloor$ % TODO Äquivalenzklassen sind immer disjunkt. Wieso der Aufwand?
	\end{itemize}
\end{nb}

\begin{defn}
	$G/H = \lbrace aH : a \in G \rbrace$ ist die \underline{Menge der Linksnebenklassen}. \newline Der Index von $H$ ist die Mächtigkeit von $G/H$, d.h. \underline{Index} [$G:H$]$:=\vert G/H \vert$
\end{defn}

\begin{nb}
	\begin{itemize}
	 	\item $\vert G \vert = [G:H]\vert H\vert$
	 	\item Analog ist $a \sim_{H} b$ mit $a,b \in G \Leftrightarrow a=hb$ für ein $h \in H$ ("rechtsäquivalent bzgl. H") eine Äquivalenzrelation.
		\underline{Rechtsnebenklassen}: $Ha=\lbrace ha : h \in H\rbrace$ mit $a \in G$ \newline Bijektion: Für $a \in G$ $aH \rightarrow Ha, x \mapsto a^{-1}xa$
	\end{itemize}
\end{nb}

\begin{defn}
	$H \backslash G$ ist die \underline{Menge der Rechtsnebenklassen}. Dann gilt: $\vert H \backslash G \vert = \vert G/H \vert$ \newline $\lceil$Bijektion: $H \backslash G \rightarrow G/H, Hb \mapsto b^{-1}H \rfloor$
\end{defn}

\begin{lemma} 
Die Funktion $$H\backslash G \xrightarrow{f} G/H, \quad Hb \mapsto b^{-1}H$$ ist eine Bijektion.
\end{lemma}

\begin{proof}
1) f ist wohldefiniert:\\
Gilt $Hb_{1}=Hb_{2}$ für $b_{1},b_{2} \in G$
das heißt $b_{1} {_{\ H}}\sim b_{2}$ \\
existiert ein $h \in H$ mit $b_1 = hb_2$ \\
$b^{-1}*H = (hb_2)^{-1}*H = b_{2}^{-1}*h*H = b_{2}^{-1}*H$

2) f ist Bijektion, da sie wohldefiniert ist:
$$G/H \xrightarrow{g} H\backslash G, \quad aH \mapsto Ha^{-1}$$
ist wohldefiniert, ähnlich zu (1).
$g \circ f = \id_{H \backslash G}$, weil $(g \circ f)(Hb) = g(b^{-1}H)=H(b^{-1})^{-1}=Hb$ ist.
$f \circ g = \id_{G \slash H}$ folgt analog.
\end{proof}

\begin{thm}
Es seien $H$,$K$ Untergruppen von $G$ mit $K \subset H \subset G$. Dann gilt: $$[G:K]=[H:K]\cdot[G:H]$$
\end{thm}

\begin{proof}
Wir nehmen an, dass $[G:H]=m$ und $[H:K]=n$ endlich sind. 
Dann gibt es $a_1,.....,a_n \in H$, so dass
$H/K=\{ a_1K,...,a_nK\}$ und $b_1,...,b_m \in G$ mit
$G/H=\{ b_1H,...,b_mH\}$. Nun ist $$G=\bigcup\limits_{\begin{subarray}{1}i=1...m \\ j=1...n\end{subarray}} b_ia_jK$$ mit paarweise disunkten $b_ia_jK$.

Falls $b_{i_{1}}a_{j_{1}}K=b_{i_{2}}a_{j_{2}}K$ mit $i_1,i_2 \in \{1,...,n \}$ und $j_1,j_2 \in \{1,...,m \}$ ist, so sind $b_{i_{1}}H$ und $b_{i_{2}}H$ sind nicht disjunkt.

$\Rightarrow b_{i_{1}}H=b_{i_{2}}H$

Dann gilt: $b_{i_{1}}a_{j_{1}}K=b_{i_{1}}a_{j_{2}}K$

$\overset{*b^{-1}}{\Rightarrow} a_{j_{1}}K=a_{j_{2}}K \Rightarrow a_{j_{1}}=a_{j_{2}}$
Also: Es gibt genau $m\cdot n$ Linksnebenklassen von $K$ in $G$.

$\bigcup\limits_{\begin{subarray}{1}i=1...m \\ j=1...n\end{subarray}} b_ia_jK = \bigcup\limits_i b_i( \bigcup\limits_j a_jK)= \bigcup\limits_i b_iH=G$

\end{proof}

\begin{nb}
Der Beweis lässt sich zum Fall von unendlichem Index erweitern. Dies liefert eine Bijektion $G/H \times H/K \to G/K$
\end{nb}

\begin{kor}{Satz von Lagrange}\\
Es gilt $\vert G\vert = [G:H]\cdot\vert H\vert$ für jede Untergruppe $H$ von $G$. Besonders gilt: $\vert H\vert$ teilt $\vert G\vert$ und $\ord(g)$ ist ein Teiler von $\vert G\vert$ für jedes $g\in G$.
\end{kor}

\begin{proof}
$K= \{ e\}$ im vorigen Satz.
\end{proof}

\begin{ex}
$G$ endlich mit $\vert G\vert=p$ Primzahl. Dann existiert ein $g \in G$ mit $g \neq e$

$\ord(g)=p \Rightarrow\langle g\rangle$ besteht aus genau p Elementen.\\
Also $\langle g\rangle=G$ und $G$ ist die von $g$ erzeugte zyklische Gruppe.
\end{ex}

\section{Normale Untergruppen und Gruppenhomomorphismen}

\begin{thm}
Es sei $G$ eine Gruppe und $H\in G$ eine Untergruppe.

Die folgenden Bedingungen sind äquivalent:
\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
\item Es gilt $bH=Hb$ für alle $b\in G$.
\item Es gilt $b^{-1}Hb=H$ für alle $b\in G$.
\item Es gilt $b^{-1}hb \in H$ für alle $b\in G$ und $h\in H$.
\end{enumerate}
\end{thm}

\begin{defn}
Eine Untergruppe $H$, die eine der Bedingungen (i)-(iii) erfüllt, nennt man eine normale Untergruppe (oder Normalteiler) von $G$.
\end{defn}

\begin{proof}
(i)$\Rightarrow$(ii):
Es sei $b \in G$ mit $bH=Hb$.
Dann gibt es für alle $x \in b^{-1}Hb$ ein \(h \in H\) mit
\begin{align*}
	x=b^{-1}hb &\Rightarrow bx=hb \in Hb=bH\\
	&\Rightarrow \text{Es gibt ein \(h' \in H$ mit $bx=bh'\).}\\
	&\Rightarrow x=b^{-1}bh'=h'\in H\\
	&\Rightarrow b^{-1}Hb \subseteq H
\end{align*}
Für $h' \in H$ ist $bh' \in bH = Hb$, woraus $bh'=hb$ für ein $h \in h$ folgt.
Deshalb ist $h'=b^{-1}hb \in b^{-1}Hb$, wodurch $H \subseteq b^{-1}Hb$ gilt.

(ii) $\Rightarrow$ (iii) ist klar.

(iii) $\Rightarrow$ (i):
Für beliebige $b \in G$, $h\in H$ gilt einerseits
\[bh=bh(b^{-1}b)=((b^{-1})^{-1}hb^{-1})b \in Hb\]
und somit \(bH \subseteq Hb\) und andererseits \(hb=bb^{-1}hb \in bH,\) also \(Hb \subseteq bH\).
Daraus folgt $bH=Hb$.
\end{proof}

\begin{nb}
Ist $N$ normal, so gilt:\\
$(aN)(bN)=abN$
\end{nb}

\begin{proof}
$(aN)(bN)=(Na)(bN)=N(ab)N=(abN)N=abN$
\end{proof}


\begin{ex}
\begin{enumerate}
\item Die trivialen Untergruppen $\{e\}$, $G$ sind normal.
	\begin{defn}
	Eine Gruppe $G$ sodass $\{e\}$ und $G$ die einzigen normalen Untergruppen sind, nennt man einfache Gruppe.
	\end{defn}
\item Jede Untergruppe einer abelschen Gruppe ist normal.
\item $SL_n(K)$ ist normale Untergruppe von $GL_n(K)$ ($K$ Körper)
\end{enumerate}
\end{ex}


\begin{defn}
Es seien $(G,\cdot_G)$ und $(H,\cdot_H)$ Gruppen. Ein Gruppenhomomorphismus von $G$ in $H$ ist eine Abbildung 
$f:G\rightarrow H$, so dass gilt:\\
$f(a\cdot_{G}b)=f(a)\cdot_{H}f(b)$ für alle $a,b\in G$ 
\end{defn}

\textbf{Eigenschaften}
\begin{enumerate}
\item $f(e_G)=e_H.$\\
Für $g\in G$ beliebig gilt:\\
$f(g)=f(e_{G}\cdot_{G}g)=f(e_G)\cdot_{H}f(g)$\\
$\Rightarrow f(e_G)=f(e_G)\cdot_{H}(f(g)\cdot_{H}f(g)^{-1})=f(g)\cdot_{H}f(g)^{-1}=e_H$\\
\item $f(g^{-1})=f(g)^{-1}$ für alle $g\in G$\\
$e_H=f(e_G)=f(g\cdot_G g^{-1})=f(g)\cdot_{H}f(g^{-1}) \Rightarrow f(g^{-1})=f(g)^{-1}$\\
\item Seien $a_1: G_1\rightarrow G_2$ und $a_2: G_2\rightarrow G_3$ Gruppenhomomorphismen, 
dann ist $a_2\circ a_1: G_1\rightarrow G_3$ ein Gruppenhomomorphismus.
\end{enumerate}

\begin{ex}
\begin{enumerate}
\item Für jedes $g \in G$ ist
$$\mathbb{Z} \rightarrow G, \qquad n \mapsto g^n$$
ein Gruppenhomomorphismus.
\item Die Exponentialfunktion
$$(\mathbb{R},+)\rightarrow(\mathbb{R}^*,\cdot), \qquad x\mapsto e^x$$
ist ein Gruppenhomomorphismus.
\item Für $(G,+)$ abelsch ist % TODO zu multiplikativer Notation wechseln, weil wegen definiert?
$$G\rightarrow G, \qquad a\mapsto na = a+...+a \text{(n-mal)}$$
ein Gruppenhomomorphismus.
\end{enumerate}
\end{ex}

\begin{defn}
Ist $N$ eine normale Untergruppe von $G$, so ist $G/N$ eine Gruppe, die man als Faktorgruppe von $G$ bezüglich $N$ bezeichnet (oder von $N$ in $G$).
Die natürliche Projektion
$$G\rightarrow G/N, \qquad a\mapsto aN$$
ist dann ein surjektiver Gruppenhomomorphismus.
\end{defn}

\begin{defn}
	G,H Gruppen, $ f: G \rightarrow H$ Gruppenhomomorphismus.
	\begin{itemize}
	\item Das \underline{Bild von $f$} ist $\im(f) := \{f(g) | g \in G\} \subseteq H$.
	\item Der \underline{Kern von $f$} ist $\ker(f) := \{g \in G | f(g) = e_H\} \subseteq G$.
	\end{itemize}
\end{defn}

\begin{lemma}
	Für jeden Gruppenhomomorphismus $ f: G \rightarrow H$ gilt:
	\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
		\item $\im(f)$ ist eine Untergruppe von $H$.
		\item $\ker(f)$ ist eine normale Untergruppe von $G$.
		\item $f$ ist surjektiv genau dann, wenn $\im(f) = H$ ist.
		\item $f$ ist injektiv genau dann, wenn $\ker(f) = \{e_G\}$ ist.\footnote{vgl. Übung 2, Aufgabe 1.}
	\end{enumerate}
\end{lemma}

\begin{proof}
	\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
		\item $\im(f)$ ist wegen der Definition von Gruppenhomomorphismen unter $\cdot_H$ abgeschlossen, enthält $e_H = f(e_G)$ (Eigenschaft (i)) und die Inversen aller seiner Elemente (Eigenschaft (ii)).
		\item Für alle $a, b \in \ker(f)$ gilt:
			$$ f(ab^{-1}) = f(a)f(b^{-1}) = f(a)(f(b))^{-1} = ee^{-1} = e.$$
			Somit ist $\ker(f)$ eine Untergruppe. \\
			Für jedes $ g \in \ker(f)$ und $x \in G$ gilt:
			$$ f(x^{-1}gx) = f(x^{-1})f(g)f(x) = f(x^{-1}) e f(x) = f(x^{-1})f(x) = f(x^{-1}x) = f(e) = e.$$
			Also ist $x^{-1}gx \in \ker(f) $ und somit ist $\ker(f)$ ein Normalteiler.
		\item Surjektivität: Dies ist exakt die Definition der Surjektivität.
		\item Injektivität: Dass aus Injektivität die Trivialität des Kernes folgt, ist klar.
			Umgekehrt gilt für alle \(a, b \in G\) mit \(f(a) = f(b)\), dass \[e_H = f(a)f(b^{-1}) =f(a)f(b^{-1}) = f(ab^{-1})\] ist.
			Somit haben wir \(ab^{-1} \in \ker(f) = \{e_G\}\), also \(a = b\) und folglich die Injektivität von \(f\). \qedhere
	\end{enumerate}	
\end{proof}

\begin{nb}
	\begin{itemize}
		\item Ein bijektiver Homomorphismus wird \underline{Isomorphismus} genannt. Die Umkehrfunktion ist dann wieder ein Isomorphismus.
		\item Ein Gruppenhomomorphismus $G \rightarrow G$ heißt \underline{Endomorphismus von G}.
		\item Ein Gruppenisomorphismus $G \rightarrow G$ heißt \underline{Automorphismus von G}.
	\end{itemize}
\end{nb}

\begin{defn}
	$G/N$ heißt \underline{Faktorgruppe von $N$ in $G$}, wenn $N$ normale Untergruppe von $G$ ist.\\
	Gruppenstruktur: $aN \cdot bN = abN$, $eN = N$ neutrales Element \\
	Die \underline{natürliche Projektion} $\pi : G \rightarrow G/N, a \mapsto aN$ ist ein surjektiver Gruppenhomomorphismus mit $\ker(\pi) = N, \im(\pi) = G/N$.
\end{defn}

\begin{thm}[Homomorphiesatz]
	Es sei $f: G \rightarrow G'$ ein Gruppenhomomorphismus und N ein Normalteiler von G.
	Ist N im $\ker(f)$ enthalten, so gibt es genau einen Gruppenhomomorphismus $\bar{f}: G/N \rightarrow G'$, so dass das folgende Diagramm kommutiert:
	\[\begin{tikzcd}
		G \arrow[rd,"\pi"] \arrow[rr,"f=\bar f\circ \pi"] & & G'\\
		& G/N \arrow[ru,"\bar f"] &
	\end{tikzcd}\]
\end{thm}

\begin{nb}
	Es gilt $\ker(\bar{f}) = \pi(\ker(f))$ und $\im(\bar{f}) = \im(f)$. 
\end{nb}

\begin{kor}
	Wenn $f: G \rightarrow G'$ ein surjektiver Homomorphismus ist, dann ist $\bar{f}: G/\ker(f) \rightarrow G'$ ein Isomorphismus.
\end{kor}

\begin{proof}[Beweis des Satzes]
	Aus dem kommutativen Diagramm folgt, dass $\bar{f}(aN) = f(a)$ sein sollte für jedes $aN \in G/N$. \\
	Wir zeigen zuerst, dass $\bar{f}$ wohldefiniert ist. Es seien $a, b \in G$ mit $aN = bN$. Dann gilt $a \sim_{N} b$ und also $b^{-1}a \in N$. Daraus folgt
	$$f(a) = f(ea) = f(b(b^{-1}a)) = f(b) f(b^{-1}a) \stackrel{b^{-1}a \in N \subseteq \ker(f)}{=} f(b)e = f(b).$$
	Die Abbildung $\bar{f}: G/N \rightarrow G'$ existiert somit und ist offensichtlich ein Gruppenhomomorphismus, denn
	$$\bar{f}(abN) = f(ab) = f(a)f(b) = \bar{f}(aN)\bar{f}(bN)$$ for all $a, b \in G$.
\end{proof}

\begin{proof}[Beweis des Korollar]
	\begin{itemize}
		\item $aN \in \ker(\bar{f}) \stackrel{Def. ~ von ~ \bar{f}}{\Leftrightarrow} a \in \ker(f)\stackrel{Def. ~ von ~ \pi}{\Leftrightarrow} aN \in \pi(\ker(f))$
		\item $\im(f) = \im(\bar{f} \circ \pi) = \bar{f}(\im(\pi)) \stackrel{\pi ~ surj.}{=} \bar{f}(G/N) = \im(\bar{f})$
	\end{itemize}
\end{proof}

\begin{thm}[1. Isomorphiesatz]
	Es seien $G$ eine Gruppe, $H \subseteq G$ eine Untergruppe und $N$ ein Normalteiler von $G$. Dann ist $NH = \{nh | n \in N, h \in H\}$ Untergruppe von $G$ und $N \cap H$ ein Normalteiler von $H$.
	Ferner ist $H/(N \cap H) \rightarrow (NH)/N, a(N \cap H) \mapsto aN$ ein Isomorphismus.
\end{thm}

\begin{proof}
	Es seien $n_1, n_2 \in N, h_1, h_2 \in H$. Dann gilt:
	$$ (n_1h_1)(n_2h_2)^{-1} = n_1h_1h_2^{-1}n_2^{-1} = n_1(h_1h_2^{-1}n_2^{-1}) = \dotsb $$
	[Da $N$ normal, gilt $h_1h_2^{-1}N = Nh_1h_2^{-1}$. Es gibt also ein $n_3 \in N$ mit $h_1h_2^{-1}n_2^{-1} = n_3h_1h_2^{-1}$.]
	$$ \dotsb = (n_1n_3)(h_1h_2^{-1}) \in NH.$$
	Daraus folgt, dass $NH$ Untergruppe von $G$ ist. \\
	Nun betrachten wir $f: H \rightarrow (NH)/N, a \mapsto aN = Na$. $f$ ist ein surjektiver Gruppenhomomorphismus mit $\ker(f) = N \cap H$. Aus dem Homomorphiesatz (+ Korollar) folgt dann, dass $\bar{f}: H/(N \cap H) \rightarrow (NH)/N$ ein Isomorphismus ist.
\end{proof}

\begin{thm}[2. Isomorphiesatz]
	Es seien $M, N$ normale Untergruppen einer Gruppe $G$. Gilt $N \subseteq M$, so ist $M/N$ eine normale Untergruppe von $G/N$ und die Abbildung $(G/N)/(M/N) \rightarrow G/M, (aN)M/N \mapsto aM$ ist ein Isomorphismus.
\end{thm}

\begin{proof}
	$f: G/N \rightarrow G/M, aN \mapsto aM$ (wohldefiniert wegen $N \subseteq M$) ist surjektiver Gruppenhomomorphismus mit $\ker(f) = M/N$. Die Aussage folgt dann aus dem Korollar zum Homomorphiesatz.
\end{proof}

\begin{notation}
	Seien $A, B, C$ Gruppen, $\alpha: A \rightarrow B$, $\beta: B \rightarrow C$ Gruppenhomomorphismen.
	\begin{itemize}
		\item Falls $\im(\alpha) = \ker(\beta)$, so sagt man, dass die Folge $A \stackrel{\alpha}{\longrightarrow} B \stackrel{\beta}{\longrightarrow} C$ bei $B$ \underline{exakt} ist.
		\item $\alpha$ ist surjektiv, falls $A \stackrel{\alpha}{\longrightarrow} B \longrightarrow \{e\}$ bei $B$ exakt ist. \\
		\begin{tabular}{p{4.3cm}p{.1cm}p{.3cm}l}
			& $b$ & $\mapsto$ & $e$
		\end{tabular}
		\item $\alpha$ ist injektiv, falls $\{e\} \longrightarrow A \stackrel{\alpha}{\longrightarrow} B$ bei $A$ exakt ist. \\
		\begin{tabular}{p{3.1cm}p{.1cm}p{.3cm}l}
			& $e$ & $\mapsto$ & $e_A$
		\end{tabular}
		\item Notation: $\{e\} =: 1$. Eine exakte Folge der Form
		$$ 1 \longrightarrow A \stackrel{\alpha}{\longrightarrow} B \stackrel{\beta}{\longrightarrow} C \longrightarrow 1$$
		(d.h. $\alpha$ injekiv, $\beta$ surjekiv und $\im(\alpha) = \ker(\beta)$), heißt \underline{kurze exakte Folge}.
	\end{itemize}
\end{notation}

\begin{ex}[für kurze exakte Folgen]
	\begin{itemize}
		\item $1 \longrightarrow N \stackrel{\alpha}{\longrightarrow} G \stackrel{\beta}{\longrightarrow} G/N \longrightarrow 1$ ist exakt für jeden Normalteiler $N$ von $G$.
		\item Für G abelsch ($\{e\} =: 0$): \\
		$0 \longrightarrow H \stackrel{\alpha}{\longrightarrow} G \stackrel{\beta}{\longrightarrow} G/H \longrightarrow 0$ ist exakt für jede Untergruppe $H$ von $G$.
	\end{itemize}
\end{ex}



\section{Produkte von Gruppen}

\begin{defn}
	Es sei $(G_i)_{i \in I}$ eine Familie von Gruppen. Das \underline{äußere direkte Produkt} der Familie ist das kartesische Produkt $\prod_{i \in I}G_i$ mit der Verknüpfung $(a_i)_{i \in I} (b_i)_{i \in I} = (a_ib_i)_{i \in I}$. Neutrales Element: $(e_i)_{i \in I}$ mit $e_i \in G_i$ neutral.
\end{defn}

\begin{notation}
	$G_1 \times G_2 \times \dotsb \times G_n$ für endliche Produkte. \\
	$G_1 \oplus G_2 \oplus \dotsb \oplus G_n$ für endliche Produkte, $G_i$ abelsch [additiv].
\end{notation}

\begin{lemma}
	Für jedes $i_0 \in I$ ist die Teilmenge
	$$ \overline{G_{i_0}} = \{(b_i)_{i \in I} \in \prod_{i \in I}G_i | b_i = e_i \text{ für } i \neq i_0\} $$
	ein Normalteiler von $\prod_{i \in I}G_i$, isomorph zu $G_{i_0}$.
\end{lemma}

\begin{proof}
	$\overline{G_{i_0}}$ ist der Kern des Gruppenhomomorphismus
	$$p_{i_0}: \prod_{i \in I}G_i \rightarrow \prod_{i \in I-\{i_0\}}G_i, (b_i)_{i \in I} \mapsto (b_i)_{i \in I-\{i_0\}}.$$
	Ferner ist
	$$j_{i_0}: G_{i_0} \rightarrow \prod_{i \in I}G_i, \quad a \mapsto (b_i)_{i \in I} \text{ mit \(b_{i_0}=a\) und \(b_i = e_i \text{ für } i \neq i_0\)}$$
	ein Homomorphismus.
	Das Bild ist $\overline{G_{i_0}}$ und $j_{i_0}$ ist injektiv, weil
	$$(b_i)_{i \in I} = (e_i)_{i \in I} \Leftrightarrow b_i = e_i \text{ für alle } i \in I,$$
	also \(j_{i_0}(a) = (e_i)_{i \in I}\) nur für \(a = e_{i_0}\).
\end{proof}

\begin{nb}
	\begin{itemize}
		\item $1 \longrightarrow G_{i_0} \stackrel{j_{i_0}}{\longrightarrow} \prod_{i \in I}G_i \stackrel{p_{i_0}}{\longrightarrow} \prod_{i \in I-\{i_0\}}G_i \longrightarrow 1$ ist kurze exakte Folge.
		\item Der Beweis liefert $\overline{G_{i_0}} \cap \langle \bigcup_{i \in I-\{i_0\}}G_i \rangle = \{e\}$. % FIXME Über die G_i zu Vereinigen ergibt keinen Sinn, da keine Gemeinsame Verküpfung besteht. Fehlt hier ein \overline?
	\end{itemize}
\end{nb}

\begin{defn}
	Sei $G$ eine Gruppe und $(N_i)_{i\in I}$ eine Familie von normalen Untergruppen, so dass gilt:

	\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
		\item $G=\langle\cup_{i\in I} N_i\rangle$
		\item $N_{i_0} \cap \langle\cup_{i\in I \setminus \{i_0\}} N_i\rangle = \{e\}$ für jedes $i_0\in I$.
	\end{enumerate}

	Dann ist $G$ das \underline{innere Produkt} von $(N_i)_{i\in I}$.
\end{defn}

\begin{lemma}
	Es sei $G$ das innere Produkt von $(N_i)_{i\in I}$. Dann gilt $ab=ba$ für $a\in N_i, b\in N_j$ mit $i\neq j$.
\end{lemma}

\begin{proof}
	Man rechnet: $$ab\inv{ba}=ab\Inv{a}\Inv{b}=(ab\Inv{a})\Inv{b}=a(b\Inv{a}\Inv{b}) \in N_i\cap N_j$$ Somit folgt $ab\inv{ba}=e$, also $ab=ba$.
\end{proof}

Wir werden uns demnächst nur mit endlichen Produkten beschäftigen.

\begin{lemma}
	Sei $G$ Gruppe, $N_1,\dots,N_r$ normale Untergruppen von $G$. Dann ist $G$ genau dann das innere Produkt von $N_1,\dots,N_r$, wenn gilt:

	\begin{enumerate}[label=(\roman*)']
		\item $G=N_1\dots N_r$
		\item Die Darstellung $a=n_1\dots n_r$ mit $n_j\in N_j$ ist für jedes $a\in G$ eindeutig bestimmt.
	\end{enumerate}
\end{lemma}

\begin{proof}
	(i) äquivalent (i)': folgt aus $$\langle\bigcup_{i=1}^r N_i\rangle = \{a_1^{\xi_1}\dots a_k^{\xi_k}: a_j\in N_1\cup\dots \cup N_r, \xi_j = \pm 1\}$$ und der Tatsache, dass die $N_j$ normale Untergruppen sind die für paarweise verschiedene $j\neq j'$ kommutieren.

	(ii)' impliziert (ii): oBdA gelte $i_0=1$. Wir möchten zeigen, dass $$N_1\cap \langle N_2\cup\dots \cup N_r\rangle = N_1 \cap (N_2\dots N_r)= \{e\}$$ Sei $x\in N_1\cap \langle N_2\dots N_r\rangle$. Dann gilt $x=n_1\in N_1$ und $x=n_2\dots n_r$ mit $n_i\in N_i$ für $i\geq 2$. Also $x=n_1e\dots e=en_2\dots n_r$, somit $n_i=e$ für alle $i$, also $x=e$.

	(ii) impliziert (ii)': Aus $n_1\dots n_r=n_1'\dots n_r'$ mit $n_i,n_i'\in N_i$ folgt $$\inv{n_1'}n_1=(n_2'\dots n_r')\inv{n_2\dots n_r} = \{e\}$$ Die letzte Gleichheit gilt nach (ii). Also folgt $n_i=n_i'$. Vertauschen der Reihenfolge liefert dies für $i\neq 1$.
\end{proof}

\begin{thm}
	Das innere Produkt $G$ von normalen Untergruppen $N_1,\dots,N_r$ ist zum äußeren Produkt $N_1\times\dots \times N_r$ kanonisch isomorph.
	Folgerung: Wir brauchen nicht zwischen den $\overline{G_i}=N_i$ und den $G_i$ zu unterscheiden.
\end{thm}

\begin{proof}
	Wir definieren $$N_1\times\dots\times N_r \overset{\pi}{\longrightarrow} G,\quad (n_1,\dots,n_r)\mapsto n_1\dots n_r$$
	Da das Bild von $\pi$ die Untergruppe $N_1\dots N_r \overset{(i)'}{=} G$ ist, ist $\pi$ surjektiv.
	Aus (ii)' folgt, dass $\pi$ auch injektiv ist.
	$\pi$ ist auch Gruppenhomomorphismus:
	\begin{align*}
		\pi((m_1,\dots,m_r)\cdot (n_1,\dots,n_r)) &= \pi((m_1n_1,\dots,m_rn_r)) = m_1n_1\dots m_rn_r\\
		&= m_1\dots m_rn_1\dots n_r = \pi(\bar m)\pi(\bar n)
	\end{align*}
	Dabei gilt die vorletzte Gleichheit, weil wir Elemente aus verschiedenen Untergruppen vertauschen dürfen.
\end{proof}

\begin{defn}
	Für $N,H$ Gruppen ist eine Gruppenerweiteruung von $N$ durch eine kurze, exakte Folge von Gruppen
	\[ \begin{tikzcd}
		1 \arrow[r] & N \arrow[r, "i"] & G \arrow[r, "p"] & H \arrow[r] & 1
	\end{tikzcd} \]
	gegeben, wobei $i$ injektiv, $p$ surjektiv, $\im i = \ker p$ ($\nicefrac{G}{H} \cong H$). % FIXME Ich bezweifle das akut. G/H \cong N?
\end{defn}

\begin{ex}
	$G=N\times H$ Diese ist i.A. nicht die einzige Gruppenerweiterung.
\end{ex}

\begin{defn}
	Es seien $G$ eine Gruppe, $N\subseteq G$ Normalteiler von $G$ und $H\subseteq G$ beliebige Untergruppe, so dass gilt: $$G=NH \quad \text{und} \quad N\cap H = \{e\}$$ Dann ist $G$ das \underline{semidirekte Produkt} von $N$ und $H$, Notation: $G=N\rtimes H$.
\end{defn}

\begin{nb}
	Jedes $a\in G$ hat eine eindeutige Darstellung $a=nh$ mit $n\in N, h\in H$. Dies liefert eine Bijektion $$N\times H \to G=N\rtimes H, (n,h)\mapsto nh$$
\end{nb}

\begin{thm}
	Für jedes $h\in H$ ist die Konjugationsabbildung $$\gamma_h: N\to N, \quad n\mapsto hn\Inv{h}$$ ein Automorphismus von $N$.
	Dies ergibt den Homomorphismus $$H\overset{\gamma}{\longrightarrow} \text{Aut}(N), \quad h\mapsto \gamma_h$$
\end{thm}

\begin{proof}
	$\gamma$ ist Homomorphismus:
	\begin{align*}
		\gamma_{h_1h_2}(n)&=(h_1h_2)n\inv{h_1h_2}=h_1h_2n\Inv{h_2}\Inv{h_1} \\
		&= h_1\gamma_{h_2}(n)\Inv{h_1}=(\gamma_{h_1}\circ\gamma_{h_2})(n)
	\end{align*}
	für $n\in N$.
\end{proof}

\begin{nb}
	\begin{enumerate}[label=(\arabic*)]
		\item Das semidirekte Produkt von $N$ und $H$ wird von $\gamma: H\to \text{Aut}(N)$ eindeutig festgelegt.
		Es gilt nämlich: $$(n_1h_1)(n_2h_2)=n_1(h_1n_2\Inv{h_1})h_1h_2=n_1\gamma_{h_1}(n_2)h_1h_2$$ wobei $$n_1\gamma_{h_1}(n_2)\in N, h_1h_2\in H.$$
		\item Umgekehrt definiert $\gamma: H\to \text{Aut}(N)$ immer ein semidirektes Produkt $N\rtimes H$: % Für beliebige Gruppen N, H? Oder gibt es weitere Anforderungen?
			\begin{gather*}
				G=(N\times H, \cdot_\gamma) \\
				(n_1,h_1)\cdot_\gamma (n_2,h_2)=(n_1\gamma_{h_1}(n_2), h_1h_2)
			\end{gather*}
			ist Gruppe mit neutralem Element $(e_N, e_H)$ und inversen Elementen $$\Inv{(n,h)}=(\gamma_{\Inv{h}}(\Inv{n}),\Inv{h})$$
			Definiere:
			\begin{align*}
				N^*&\coloneqq \{(n, e_H): n\in N\} \cong N, \\
				H^*&\coloneqq \{(e_N, h): h\in H\} \cong H
			\end{align*}
			$N^*,H^*$ sind Untergruppen von $G$, isomorph zu $N$ bzw. $H$. $$\pi: G\longrightarrow H, \quad (n,h)\mapsto h$$ ist ein Homomorphismus mit $\ker \pi = N^*$, also ist $N^*$ normale Untergruppe.
			Das $N^*\cap H^* = \{e\}$ ist klar und $(n,h)=(n,e_H)\cdot_\gamma (e_N, h)$ liefert $G=N^*H^*$.
	\end{enumerate}
\end{nb}

\begin{defn}
	Eine kurze exakte Folge
	\[ \begin{tikzcd}
		1 \arrow[r] & N \arrow[r, "i"] & G \arrow[r, "p"] & H \arrow[l, bend left, dashed, "s"] \arrow[r] & 1
	\end{tikzcd} \]
	spaltet, falls ein Homomorphismus $s: H\to G$ existiert, mit $p\circ s = \text{id}_H$. $p$ heißt ein \underline{Schnitt} von $p$. % FIXME **p** heißt Schnitt von **p**? Eher nicht.
\end{defn}

Für $G=N\rtimes H$ Gruppenerweiterung:

\[ \begin{tikzcd}
		1 \arrow[r] & N \arrow[r,"i"] & G \arrow[r,"p"] & H \arrow[r] & 1
\end{tikzcd} \]

wobei $i: N\to G, n\mapsto (n,e_H), p:G\to H, (n,h)\mapsto h$ ist $j:H\to G, h\mapsto (e_N,h)$ Schnitt. $H$ ist Untergruppe. Man rechnet $(p\circ j)(h)=p(e_N,h)=h$

\begin{thm}
	Es sei

	\[ \begin{tikzcd}
		1 \arrow[r] & N \arrow[r,"i"] & G \arrow[r,"p"] & H \arrow[r] & 1
	\end{tikzcd} \]

	eine Gruppenerweiterung, die mit einem Schnitt $s:H\to G$ spaltet. Dann ist $G$ das semidirekte Produkt von $N$ und $H$, definiert durch $$\gamma: H\to \text{Aut}(N), \quad h\mapsto \gamma_h$$
\end{thm}

\begin{proof}
	Wir setzen $\rho: N\rtimes H \to G, (n,h)\mapsto i(n)s(h)$. Zeige, dass $\rho$ Homomorphismus ist:

	\begin{gather*}
		\rho((n_1,h_1)\cdot (n_2,h_2)) = \rho(n_1\gamma_{h_1}(n_2), h_1h_2) \\
		= i(n_1)i(\gamma_{h_1}(n_2))s(h_1)s(h_2) = i(n_1)s(h_1)i(n_2)\Inv{s(h_1)}s(h_1)s(h_2) \\
		= \rho(n_1,h_1)\rho(n_2,h_2).
	\end{gather*}
	Es bleibt zu zeigen, dass $\rho$ bijektiv ist.
	% VL 19.05.
	\begin{enumerate}
	\item{Injektivität}
	Sei $(n,h)\in \ker(\rho)$. Dann gilt
	$i(n)\cdot s(h) = e_G \Rightarrow e_H = p(e_G) = p(i(n)\cdot s(h)) = p(i(n))\cdot p(s(h))$.

	Aber $p(i(n)) = e_H$ wegen der kurzen exakten Folge und $p(s(h)) = h$. Also $e_H = h$.

	Damit ist $i(n)\cdot s(h) = i(n)\cdot s(e_H) = i(n)\cdot e_G = i(n)$. Da $(n,h)\in\ker(\rho)$ folgt $i(n) = e_G$ und somit $n=e_N$, da $i$ injektiv ist.

	Daraus folgt $\ker(\rho) = \{(e_N,e_H)\}$. Somit ist $\rho$ injektiv.
	\item{Surjektivität}

	Sei $a\in G$ beliebig. Wir setzen: $b := a\cdot\inv{s(p(a)}$. Wegen der Schnitteigenschaft von $s$ ist $p\circ s = \text{id}_H$ und somit

	$p(b) = p(a)\cdot (p\circ s)(\Inv{p(a)})=p(a)\cdot\Inv{p(a)}=e_G$. Daraus folgt $b\in\ker(p)= \im(i)$. Und somit $\exists n\in N$ mit $i(n) = b$. Dies liefert:

	$\rho(n,p(a)) = b\cdot s(p(a))=a\cdot s(p(a))^{-1}s(p(a))=a$. \qedhere
	\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{ex}

\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
	\item Für einen beliebigen Körper $K$ zerfällt (bzw. spaltet)
	\[ \begin{tikzcd}
		 1 \arrow[r] & SL_n(K) \arrow[r] & GL_n(K) \arrow[r,"\det"] & K^* \arrow[r] & 1.
	\end{tikzcd} \]
	Das heißt $GL_n(K) = SL_n(K)\rtimes K^*$.

	\item Es sei $N$ eine beliebige abelsche Gruppe und $H := (\{\pm 1\},\cdot)\left[\cong(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z},+)\right]$. Für $h\in H$ sei $\gamma_h$ definiert als $\gamma_h:N\to N, \gamma_h(n) := n^h$.

	Dann heißt $D_n := N \rtimes H$ verallgemeinerte Diedergruppe. Diese hat die Verknüpfung
	$(n_1,\epsilon_1)\cdot(n_2,\epsilon_2) = (n_1 n_2^{\epsilon_1},\epsilon_1\epsilon_2)$. Es ist $N \cong N\times\{1\}$ eine normale Untergruppe von $D_N$ mit Index $[D_N:N] = 2$.

	\item Spezialfall: $N = \mathbb{Z}/k\mathbb{Z}$, $D_{2k} := D_{\mathbb{Z}/k\mathbb{Z}}$ heißt Diedergruppe der Ordnung $2k$. Dann ist $D_{2k}$ die Symmetriegruppe des regelmäßigen k-Gons. Die Untergruppe $N\subset D_{2k}$ ist gerade die Menge der Drehungen.

	Ist $G$ eine von zwei Elementen $n,h\in G$ erzeugt, also $G = \left< n,h\right>$, mit $\ord(n) = k$ ($\cong$ Drehung) und $\ord(h) = 2$ ($\cong$ Spiegelung) und außerdem $h^{-1}nh=n^{-1}$, so gilt $G\cong D_{2k}$.
\end{enumerate}

\end{ex}

\section{Die symmetrische Gruppe}

\begin{defn}
	Für eine Menge $M\neq\emptyset$ bildet $S_M$ als Menge aller Bijektionen von $M\to M$ mit der Verkettung von Funktionen als Verknüpfung und der Identität als neutralem Element eine Gruppe, die \emph{symmetrische Gruppe von $M$}.
	Die Elemente von $S_M$ heißen \emph{Permutationen}.
\end{defn}

\begin{thm}[Satz von Cayley]
	Jede Gruppe $G$ ist isomorph zu einer Untergruppe von $S_G$.
\end{thm}
\begin{proof}

	Für jedes Element $a\in G$ ist die Linkstranslation um $a$, also $\lambda_a:G\to G, b\mapsto a\cdot b$ eine Permutation.

	Die Abbildung $\lambda:G\to S_G, a\mapsto \lambda_a$ ist ein Homomorphismus, denn für $a,b,h\in G$ gilt
\[\lambda_{ab}(h) = abh = a(bh) = a\lambda_b(h) = \lambda_a(\lambda_b(h)) = (\lambda_a\circ\lambda_b)(h).\]

	Es sei $a\in \ker(\lambda)$. Dann gilt $\lambda_a = \text{id}_G \Rightarrow ah = h$ für alle $h\in G $ und damit
	\[a = a\cdot e = \lambda_a(e) = e \Rightarrow \ker(\lambda) = \{e\}.\]
	
	Also ist $\lambda$ injektiv und somit $G\cong\im(\lambda)$.
\end{proof}

\begin{defn}
	Es sei $M\neq\emptyset$ eine Menge und $\sigma$ eine Permutation von $M$.
	\begin{enumerate}
		\item Der Träger von $\sigma$ ist $\supp(\sigma) := \{m\in M: \sigma(m)\neq m\}$.
	
		\item Ein Zyklus der Länge $l$ ist eine Permutation $\sigma\in S_M$ mit $l = |\supp(\sigma)|$, so dass
	\[\supp(\sigma) = \{m_1,m_2,\dots,m_l\}\text{ mit }\sigma(m_j) = m_{j+1},\; 1\leq j<l,\; \sigma(m_l) = m_1.\]
	Für einen solchen Zyklus schreiben wir $\sigma = (m_1m_2\dots m_l)$.
	
		\item 2-Zyklen werden Transpositionen genannt.
	\end{enumerate}
\end{defn}


\begin{nb}
	Sind $\sigma,\tau\in S_M$ mit $\supp(\sigma)\cap \supp(\tau) = \emptyset$, so gilt $\sigma\circ\tau = \tau\circ\sigma$.
\end{nb}


\begin{defn}
	Im Spezialfall $M=\{1,2,\dots,n\}$ schreibt man $S_n := S_M$. Ein Element $\sigma\in S_n$ schreibt man als \[\sigma = \begin{pmatrix}
	 1 & 2 & \dots & n \\
	 \sigma(1) & \sigma(2) & \dots & \sigma(n) \end{pmatrix}.\]
\end{defn}

\begin{ex}
	 $\sigma = \begin{pmatrix}
	 1 & 2 & 3 & 4 \\
	 4 & 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} \in S_4$.
	$\sigma$ ist der 3-Zyklus $(143) = (431) = (314)$.
\end{ex}


\begin{thm}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
	\item Jede Permutation $\sigma\in S_n, \sigma\neq Id$, kann als Produkt von Zyklen mit disjunkten Trägern geschrieben werden. Diese Darstellung ist bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutig bestimmt.
	\item Für einen beliebigen l-Zyklus $(m_1m_2\dots m_l)\in S_n$ und $\sigma\in S_n$ gilt 
	\[\sigma\circ(m_1m_2\dots m_l)\circ\sigma^{-1} = (\sigma(m_1)\sigma(m_2)\dots\sigma(m_l)).\]
	\item Die symmetrische Gruppe $S_n$ wird von den Transpositionen erzeugt.
\end{enumerate}
\end{thm}

\begin{proof}
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
	\item Es sei $\sigma\in S_n, \sigma\neq\text{id}$. Für $m_1,m_2\in\{1,\dots,n\}=:M$ definieren wir 
	\[m_1\sim m_2 :\Leftrightarrow m_1 = \sigma^l(m_2)\qquad\text{für ein }l\in\mathbb{Z}.\]
	Dann ist $\sim$ eine Äquivalenzrelation auf $M$. Es sei $M = K_1\cup K_2\cup\dots\cup K_r$ die Zerlegung von $M$ in disjunkte Äquivalenzklassen. Wir betrachten $a_j\in K_j$ beliebig. Es sei $l_j$ die kleinste positive Zahl mit $\sigma^{l_j}(a_j) = a_j$. Das liefert uns
	\[a_j,\sigma(a_j),\sigma^2(a_j),\dots,\sigma^{l_j-1}(a_j)\in K_j\]
	und diese Elemente sind paarweise verschieden. Aus der Definition folgt, dass $\sigma\upharpoonright_{K_j}=(a_j\sigma(a_j)\dots\sigma^{l_j-1}(a_j))\in S_{K_j}$ ein Zyklus der Länge $l_j$ ist. Wenn wir dies für alle $j=1,\dots,r$ tun, erhalten wir:
	\[\sigma = (a_1\dots\sigma^{l_1-1}(a_1))(a_2\dots\sigma^{l_2-1}(a_2))\dots(a_r\dots\sigma^{l_1-r}(a_r)).\]
	Dies ist genau die gesuchte Darstellung, wenn man zudem $(a_j):=\text{id}$ für $l_j = 1$ definiert.

	Eindeutigkeit: Es sei für $s\in\mathbb{N}$ $\sigma = \tau_1\tau_2\dots\tau_s$ eine andere Darstellung. Dann ist $\sigma\upharpoonright_{\supp(\tau_k)} = \tau_k$ für alle $k$ ein Zyklus. Damit ist $\supp(\tau_k) = K_j$ für ein $j=1,\dots,r$ und somit ist $\tau_k$ gerade ein solcher Zyklus wie in unserer Konstruktion. Diese ist also eindeutig.

	\item Es sei $\sigma\in S_n$ und $(m_1\dots m_k)$ ein Zyklus. Dann gilt
	\[(\sigma(m_1\dots m_k)\Inv\sigma)(\sigma(m_{\alpha}))=(\sigma(m_1\dots m_k))(m_{\alpha}) = \sigma(m_{\alpha+1})\text{ mit }m_{k+1}:=m_1.\] 
	Für $m\notin \{m_1,\dots,m_k\}$ gilt $(\sigma(m_1\dots m_k)\sigma^{-1})(\sigma(m))=(\sigma(m_1\dots m_k))(m) = \sigma(m)$. Daraus folgt $\sigma\circ(m_1m_2\dots m_l)\circ\sigma^{-1} = (\sigma(m_1)\sigma(m_2)\dots\sigma(m_l))$.

	\item Wegen (a) genügt es zu zeigen, dass für alle $k\in\mathbb{N}$ alle k-Zyklen Produkte von Transpositionen sind. Für einen beliebigen Zyklus gilt
	\[(m_1\dots m_k) = (m_1m_2)(m_2m_3)\dots (m_{k-1}m_k).\]
	Beispiel: $(1234) = (12)(23)(34)$. Graphisch veranschaulicht:
	\[\begin{pmatrix}
		1 & 2 & 3 & 4 \\ % (34)
		1 & 2 & 4 & 3 \\ % (23)
		1 & 3 & 4 & 2 \\ % (12)
		2 & 3 & 4 & 1
	\end{pmatrix}.\]
	
	Anmerkung: Es reichen deutlich weniger Transpositionen aus, um $S_n$ zu erzeugen.
\end{enumerate}

\end{proof}

\begin{defn}
Für $\sigma\in S_n$ ist das Signum von $\sigma$ definiert als
	\[\sgn(\sigma) := \prod_{i<j}\frac{\sigma(i)-\sigma(j)}{i-j}\qquad(\in\{\pm 1\}).\]
Permutationen $\sigma\in S_n$ mit $\sgn(\sigma) = 1$ (bzw. $-1$) heißen gerade (bzw. ungerade) Permutationen.
\end{defn}

\begin{lemma}
Die Abbildung $\sgn:S_n\to\{\pm 1\}$ ist ein Gruppenhomomorphismus.
\end{lemma}

\begin{proof}
Es seien $\sigma,\tau\in S_n$ beliebig. Dann gilt 

\begin{equation*}
	\begin{split}
		\sgn(\sigma\tau) &= \prod_{i<j}\frac{\sigma\tau(i)-\sigma\tau(j)}{i-j} = \prod_{i<j}\frac{\sigma\tau(i)-\sigma\tau(j)}{\tau(i)-\tau(j)}\cdot\prod_{i<j}\frac{\tau(i)-\tau(j)}{i-j} \\
		&= \left(\prod_{\substack{i<j,\\\tau(i)<\tau(j),\\ i':=\tau(i),j':=\tau(j)}}\frac{\sigma\tau(i)-\sigma\tau(j)}{\tau(i)-\tau(j)}\cdot \prod_{\substack{i<j,\\\tau(j)<\tau(i),\\ i':=\tau(j),j':=\tau(i)}}\frac{\sigma\tau(i)-\sigma\tau(j)}{\tau(i)-\tau(j)}\right)\cdot \sgn(\tau) \\
		&=\prod_{i'<j'}\frac{\sigma(i')-\sigma(j')}{i'-j'}\cdot \sgn(\tau) \\
		&= \sgn(\sigma)\cdot \sgn(\tau).
	\end{split}
\end{equation*}
\end{proof}

% VL 26.5.
	\begin{kor}
	Jede gerade Permutation ist das Produkt einer geraden Anzahl von Transpositionen. Jede ungerade Permutation ist Produkt einer ungeraden Anzahl von Transpositionen.
	\end{kor}

	\begin{ex}
	m-Zyklus $(n_1n_2...n_m)$ ist das Produkt von $m-1$ Transpositionen.
	
	$\Rightarrow \sgn((n_1n_2....n_m))=(-1)^{m-1}$
	\end{ex}

	\begin{kor}
	$\sigma = (m_1....m_{k_1})(m_{k_1+1}...m_{k_2})...(m_{k_{r-1}}....m_{k_r})$	$\Rightarrow \sgn(\sigma)=(-1)^{k_r-r}$
	\end{kor}

	\begin{defn}
	Die normale Untergruppe $A_n=\ker(\sgn)$ der geraden Permutationen wird die alternierende Gruppe genannt.
	\end{defn}
	
	\begin{nb}
	Index von $A_n$ in $S_n$ ist 2 $\Rightarrow \ord(A_n)=\frac{1}{2}\ord(S_n)$\\
	$\ord(S_n)=n(n-1)...1=n!$
	\end{nb}
	
	\begin{lemma}
	$A_n$ wird durch die 3-Zyklen von $S_n$ erzeugt.
	\end{lemma}
	
	\begin{proof}
	Es sei $\sigma \in A_n$ eine gerade Permutation. Wir schreiben $\sigma$ als Produkt von Transpositionen:
	$\sigma =(a_1b_1)(a_2b_2)....(a_nb_n)$\\
	Für disjunkte Träger gilt:\\
	$(a_{2_{j-1}b_{2_{j-1}}})(a_{2_j}b_{2_j})=(a_{2_{j-1}}a_{2_j})(a_{2_j}b_{2_{j-1}})(a_{2_{j-1}}a_{2_j})(a_{2_j}b_{2_j})=(a_{2_{j-1}}a_{2_j}b_{2_{j-1}})(a_{2_{j-1}}a_{2j}b_{2j})$\\
	Produkt von 3-Zyklen.
	
	Wenn es ein gemeinsames Element gibt: ob $b_{2_{j-1}}=a_{2_j}$\\
	$(a_{2_{j-1}}a_{2_j})(a_{2_j}b_{2_j})=(a_{2_{j-1}}a_{2j}b_{2j})$ e-Zyklus\\
	Für $\{ a_{2_{j-1}}b_{2_{j-1}}\} =\{ a_{2_j}b_{2_j} \} : (a_{2_{j-1}}b_{2_{j-1}})(a_{2_j}b_{2_j})=id$\\
	Daraus folgt: $\sigma$ ist das Produkt von 3-Zykeln.
	\end{proof}
	
	\begin{ex}
	\begin{enumerate}
		\item $S_1=\{ (1)\}$
		\item $S_2=\{ id, (12)\}$ zyklisch der Ordnung 2
		\item $S_3=\{ id,(12),(13);(23),(123),(132)\} \supsetneq A_3=\{ id,(123),(132)\}$
		\item $S_3=A_3\rtimes \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \rtimes \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} = D_6$ Diedergruppe mit 6 Elementen.
	\end{enumerate}
	\end{ex}
	 
\section{Gruppenoperationen}
	\begin{defn}
	Es sei $(G, \cdot)$ eine Gruppe und $X$ eine Menge. Eine Operation von G auf X ist eine Abbildung:
	$$G \times X \rightarrow X$$
	$$(g,x) \mapsto g\bullet x$$
	welche folgende Bedingungen erfüllt:
	\begin{enumerate}
		\item $e \bullet x = x$ ($e\in G$ neutral)
		\item $(a\cdot b)\bullet x = a\bullet (b\bullet x)\;\forall a,b\in G, x\in X$
	\end{enumerate}
	\end{defn}
	
	\begin{ex}
	$V$, $K$-Vektorraum, die allgemeine lineare Gruppe $GL_k(V)$ operiert auf $V$:
	$$GL_k(V) \times X \rightarrow V$$
	$$(A,v)\mapsto Av$$
	\end{ex}

	\begin{notation}
	Wenn $G$ auf $X$ operiert, sagt man, dass $X$ eine $G$-Menge ist. Bezeichnung: $G\circlearrowright X$
	\end{notation}

	\begin{nb}
	Für jedes Element $g\in G$ existiert
	$$\tau_g: X \rightarrow X$$
	$$x \mapsto gx$$
	\end{nb}
	
	$\tau_g$ ist eine Bijektion mit Inverse $\tau_{g^{-1}}$ Aus 1. und 2. folgt:
	$$\tau G \rightarrow S_X$$
	$$g \mapsto \tau_g$$
	
	ist ein Gruppenhomomorphismus. Umgekehrt definiert jeder Gruppenhomomorphismus $\tau: G \rightarrow S_X$ durch 
	$g: x=(\tau(g))(x)$ eine Gruppenoperation.
	
	\begin{defn} Es sei $\bullet: G \times X \rightarrow X$ eine Gruppenoperation.
	\begin{enumerate}
		\item Für $x\in X$ heißt $Gx=\{ gx : g \in G\}$ die Bahn (oder Orbit) von X. 
		\item Die Untergruppe $G_x:=\{ g\in G : gx=x\}$ heißt Isotropiegruppe (oder Stabilisator) von $x$.
		\item Menge der Fixpunkte unter $G$: $X^G:=\{ x \in X : gx=x \forall g \in G\}$
		\item Die Gruppenoperation ist treu, falls $\tau:G \rightarrow S_X$ injektiv ist.
		\item Die Gruppenoperation ist transitiv, wenn $X$ eine Bahn ist.
	\end{enumerate}
	\end{defn}
	
	\begin{ex}
	\begin{enumerate}
		\item Der Satz von Cayley ergibt einen Invektiven Homomorphismus.
		$$G \to S_G$$
		$$a \mapsto \lambda_a$$
		wobei
		$$\lambda_a: G \to G$$
		$$b \mapsto ab$$
		Das heißt: 
		$$(G\times G) \to G$$
		$$(a,b) \mapsto ab$$
		ist eine treue Operation von G auf G.
		Diese Operation ist transitiv: es gilt $eG=G$, d.h. $G$ ist eine Bahn.
		
		\item Die Rechtstranslation
		$$\varphi : G \to G$$
		$$b \mapsto ba^{1}$$
		für beliebiges $a\in G$ definiert eine treue und transitive Gruppenoperation von $G$ auf $G$:
		$$(G,G) \rightarrow G$$
		$$a \bullet b := ba^{-1}$$	
		
		\item $G$ operiert auf sich selbst durch Konjugation:
		$$a \in G i_a : G \to G$$
		$$x \mapsto axa^{-1}$$	
		Die Konjugation mit $a$ ist immer ein Automorphismus von G.
		$$G \xrightarrow{i} Aut(G) \subseteq S_G$$
		$$a \mapsto i_a$$
		ein Gruppenhomomorphismus, d.h. eine Operation von $G$ auf sich selbst.
		\begin{proof}
		$a,b \in G$ $i_{ab}(x)=abx(ab)^{-1}=abxb^{-1}a^{-1}$\\
		$=a(i_b(x))a^{-1}=i_a\circ i_b(x) \forall x\in G$
		\end{proof}
		\begin{nb}
		Die Bahnen von $i$ heißen Konjugationsklassen. Der Kern von $i$ heißt Zentrum von $G$.\\
		$Z(G)=\ker(i)\{ a \in G : axa^{-1}=x$ $\forall x \in G\} = \{a \in G : ax =xa$ $\forall x \in G\}$\\
		Es gilt $G^G=\{ y \in G : byb^{-1}=y$ $\forall b \in G\}=\{ y \in G : by =yb$ $\forall b \in G\}=Z(G)$\\
		
		D.h. $Z(G)$ ist auch die Menge der Fixpunkte. Der Stabilisator von $x \in G$:\\
		$G_x=\{a \in G : axa^{-1}=x\}=\{ a \in G : ax = xa\}=:C_G(x)$
		\end{nb}		
	\end{enumerate}
	\end{ex}
	
	\begin{thm}
	$G \times X \rightarrow X$ Gruppenoperation. Dann ist die Abbildung
	$$p: G/G_x \to Gx$$
	$$gG_x \mapsto gx$$
	ein bijektiver $G$-Homomorphismus für alle $X \in X$.
	\end{thm}
	
	\begin{defn}
	$X$,$Y$ $G$-Mengen $f: X \rightarrow Y$ ist ein $G$-Homomorphismus, falls $f(gx)=g(f(x))$
	\end{defn}
	
	\begin{kor}
	$|Gx|=|G/G_x|=[G:G_x]$ Index
	\end{kor}
	
	\begin{proof}
	$p$ ist wohldefiniert: $\forall a,b,x \in G$ gilt:
	$$aG_x=bG_x \Leftrightarrow b^{-1}a \in G_x \Leftrightarrow b^{-1}ax=x \Leftrightarrow ax=bx \Leftrightarrow p(a)=p(b)$$
	D.h. $p$ ist wohldefiniert als auch bijektiv.
	$p$ ist ein $G$-Homomorphismus: $\forall a,b \in G$:
	$$p(a(b(G_x)))=p(ab(G_x))=abx=ap(bG_x)$$
	Die Bahnen einer $G$-Operation sind die Äquivalenzklassen bezüglich der Äquivalenzrelation:
	
	$x,y \in X : x \sim y \xLeftrightarrow{Def} x=gy$ für ein $g\in G$\\
	D.h. die Bahnen bilden eine Partition von $X$.
	
	Für ein Repräsentantensystem $\{ x_i\}_{i\in I}$ der Bahnen von G gilt die Bahnengleichung:

	$$|X|=\sum\limits_{\begin{subarray}{1}i \in I\end{subarray}}|Gx_i|=\sum\limits_{\begin{subarray}{1}i \in I\end{subarray}}[G:G_{x_i}]=|X^G|+\sum\limits_{\begin{subarray}{1}i \in I\\ x_i \notin X^G\end{subarray}}[G:G_{x_i}]$$
	
	\end{proof}

%VL 2.6.15
Für die Operation von G auf sich selbst durch Konjugation gilt:
\begin{thm} [Klassengleichung]
Ist $\{x_{i}\}_{i \in I}$ ein Repräsentantensystem für die Konjugationsklassen der Gruppe G, so gilt: 
\begin{gather*}
|G|= |Z(G)|+\sum_{x_{i}\notin Z(G)}[G:C_{G}(x_{i})] \\ 
Z(G)=\{a \in G :ag=ga\ \ \forall g \in G\}\ \ Zentrum \\
C_{G}(x_{i})= \{a \in G :ax_{i}=x_{i}a\}\ \ Zentralisator \\
\end{gather*}
Für endliche Gruppen: $[G:G_{x_{i}}]=\dfrac{|G|}{|G_{x_{i}}|}$
\end{thm}

\begin{nb}
Anwendung: Existenz von Fixpunkten
\end{nb}

\begin{defn} 
Eine endliche Gruppe G wird \underline{p-Gruppe} genannt, wobei p eine Primzahl ist, wenn die Ordnung von G eine Potenz $p^n$ von p ist $(n\geq 1)$.
\end{defn}

\begin{thm}
Das Zentrum einer p-Gruppe G enthält nicht triviale Elemente $a \neq e$.
\end{thm}

\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item \underline{n=1:} \(\ord(G)=p\) ist eine Primzahl. Dann ist \(G\) eine zyklische Gruppe. Da \(G\) abelsch ist, gilt dann: \(G=Z(G)\).
\item \underline{$n\geq 2$:} Aus dem Satz von Lagrange folgt, dass die Ordnung jeder Untergruppe $H$ von $G$ ein Teiler von $p^n$ ist, d.h. eine Primpotenz $p^k$ mit $0\leq k\leq n$. Es seien $x_{1},...,x_{m}$ Repräsentanten der Konjugationsklassen von $G$.
$C_{G}(x_{i})$ Untergruppe $\Rightarrow |C_{G}(x_{i})|=p^k_{i}$ mit $0\leq k_{i} \leq n$ und $k_{i}=n \Leftrightarrow x_{i} \in Z(G)$\\
Klassengleichung: $p^n=|X|=|Z(G)|+\sum_{x_{i}\notin Z(G)}p^{n-k_{i}}$ mit $n-k_{i}>0$ \\
$|Z(G)|= p^n-\sum_{x_{i}\notin Z(G)}p^{n-k_{i}}$ ist durch p teilbar. Wegen $|Z(G)|\geq 1$ gilt $|Z(G)|\geq p$. Es gibt also mindestens $p-1$ Elemente in $Z(G)$, die vom neutralen Element verschieden sind.
\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{thm}
Es sei G eine p-Gruppe, die auf einer endlichen Menge X operiert. Dann gilt:
\begin{equation*}
|X^G|\equiv |X|(mod\ \ p)
\end{equation*}
\end{thm}

\begin{proof}
Es sei $\{x_{1},...,x_{m}\}$ ein Repräsentantensystem der Bahnen. \\
$|C_{G}(x_{i})|=p^k_{i}$ mit $0\leq k_{i} \leq n$ (aus dem Satz von Lagrange); $k_{i}=n\Leftrightarrow x_{i} \in X^G$ \\
Die Bahnengleichung liefert $|X|-|X^G|=\sum_{x_{i}\notin Z(G)}p^{n-k_{i}}$ ist ein Vielfaches von p.
\end{proof}

\section{Strukturtheorie der Gruppen}

\subsection{Die sylowschen Sätze}

Satz von Lagrange $\Rightarrow \ord(H)|\ord(G)$ für jede Untergruppe $H$ von $G$
Aber: wenn h ein Teiler von $\ord(G)$, existiert dann auch H mit $\ord(H)=h$?

\begin{thm}
Es seien $p$ eine Primzahl und $G$ eine abelsche Gruppe der Ordnung $pn$ für ein $n\in\mathbb{N}$. Dann existiert immer ein $a \in G$ der Ordnung $p$.
\end{thm}

\begin{proof}
Induktion nach $n=\dfrac{|G|}{p}$
\begin{itemize}
\item \underline{Induktionsstart:} n=1, d.h. $|G|=p$. Daraus folgt: $G=\langle a\rangle$ ist zyklisch und der Erzeuger a hat Ordnung p.
\item \underline{Induktionsschritt:} Wir nehmen an, dass die Aussage für eine Gruppe der Ordnung $pm^,$ mit $m^,<n$ gilt.\\
Es sei $n\neq e$ ein beliebiges Element von G, und $m:=\ord(h)$. Wenn m durch p teilbar ist, enthält die zyklische Untergruppe $\langle h\rangle$ ein Element der Ordnung p. \\
Wenn p kein Teiler von m ist, so ist p ein Teiler von $|G/\langle n\rangle|=\dfrac{|G|}{|\langle n\rangle|}=\dfrac{pn}{m}<pn$. Nach Induktionsvoraussetzung enthält die Gruppe $|G/\langle n\rangle|$ ein Element $a\langle n\rangle$ der Ordnung p. Es sei $k:=\ord(a)$ die Ordnung des gewählten Repr. ($a \in G$). \\
$(a\langle n\rangle)^k=a^k\langle n\rangle=\langle n\rangle$ (neutrales Element) liefert $ p = \dfrac{\ord(a\langle n\rangle)}{k}$. \\
Daraus folgt, dass $a^{\frac{k}{p}}$ ein Element von $\langle a\rangle$ der Ordnung p ist.
\end{itemize}
\end{proof}

\begin{thm} [Cauchy]
Ist p eine Primzahl, die die Ordnung der endl. Gruppe G teilt, so enthält G ein Element der Ordnung p.
\end{thm}

\begin{proof}
Induktion auf $\ord(G)$
\begin{itemize}
\item \underline{Induktionsstart:} $\ord(G)=1$ ist klar
\item \underline{Induktionsschritt:} Wir nehmen an, dass die Aussage für alle Gruppen T gilt mit $\ord(T)<\ord(G)$. \\
Wenn G eine Untergruppe H enthält, deren Ordnung durch p teilbar ist, so enthält H ein Element der Ordnung p. \\
Wir können annehmen, dass die Ordnung jeder Untergruppe $H\neq G$ nicht durch p teilbar ist. \\
Im Spezialfall der Zentralisation gilt: $p \nmid \ord(C_{G}(a))$ für $a \notin Z(G)$ \\
Klassengleichung: $|G|=|Z(G)|+\sum_{x_{i}\notin Z(G)}\dfrac{|G|}{|C_{G}(a)|}$ impliziert $p|\mid |Z(G)|$. Aus der Annahme folgt dann Z(G)=G. \\
G ist also abelsch und die Aussage folgt aus dem vorherigen Satz.
\end{itemize}
\end{proof}

\begin{kor}
Die Ordnung einer endlichen Gruppe G ist genau dann eine Primpotenz für eine Primzahl p, wenn die Ordnung jedes Elements von G eine Primpotenz bezüglich p ist.
\end{kor}

\begin{proof}
\begin{itemize}
\item[$"\Rightarrow"$]$\ord(g)$ teilt $\ord(G)=p^n$ (Lagrange) impliziert, dass $\ord(g)=p^k$ gilt
\item[$"\Leftarrow"$]Ist die Ordnung von G von der Form $\ord(G)=p^\alpha q$ mit $q\neq 1$ prim zu p. Dann enthält G ein Element der Ordnung p für jeden Primfaktor von q, somit ist die Ordnung nicht von der Form $p^k$. Widerspruch!
\end{itemize}
\end{proof}

\begin{nb}
(unendliche) Gruppen G, für die gilt: $\ord(a)=p^{n(a)}\ \ \forall a \in G$, p feste Primzahl, werden \underline{p-Gruppen} genannt.
\end{nb}

\begin{defn}
Es sei p eine Primzahl, G eine endliche Gruppe. Man schreibt $|G|=p^n q$ mit $n \in \mathbb{N}$ und q teilerfremd zu p. Eine Untergruppe S von G ist eine \underline{p-Sylowuntergruppe}, wenn $|S|=p^n$ gilt.
\end{defn}

\begin{thm} [Sylow]
Es sei G eine endliche Gruppe der Ordnung $|G|=p^n q$ mit p Primzahl, q teilerfremd zu p. Dann gilt:

\begin{enumerate}
\item G enthält eine Untergruppe der Ordnung $p^\alpha$ für jedes $1\leq \alpha \leq n$.
\item Es sei H eine p-Untergruppe von G und S eine p-Sylowuntergruppe. Dann existiert ein $g \in G$ mit $H \subset gSg^{-1}$.
\item Die Anzahl der p-Sylowuntergruppen ist ein Teiler von q von der Form $s=1+kp$ mit $k \in \mathbb{N}$.
\end{enumerate}
\end{thm}

\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item Wir zeigen die durch Induktion auf $\ord(G)$.
Wir nehmen an, dass die Aussage für alle Gruppen gilt, deren Ordnung kleiner als \(\ord(G)\) ist.
Wenn G eine echte Untergruppe H enthält, wobei $|H|$ durch p teilbar ist, existiert nach der Induktionsvor. eine Untergruppe von H von der Ordnung $p^\alpha$.(fertig) \\
Wir können uns auf den Fall beschränken, dass $p^n \nmid \ord(H)$ für alle Untergruppen $H\neq G$gilt. \\
$(a_{i}){i \in I}$ Repräsentantensystem der Konjugationsklassen. \\
$p^n q=|G|=|Z(G)|+\sum_{x_{i}\notin Z(G)}\dfrac{|G|}{|C_{G}(a_{i})|}$ \\
$p^n \nmid |C_{G}(a_{i})|$ ergibt sich aus der Annahme $p^n \mid |G|$. \\
Daraus folgt: $\dfrac{|G|}{|C_{G}(a_{i})|}$ ist durch p teilbar. Daraus folgt, dass $|Z(G)|$ durch p teilbar ist. Aus dem Satz von Cauchy folgt dann, dass $b \in Z(G)$ mit $\ord(b)=p$ existiert.

% VL 09.06.
Da $b$ im Zentrum von $G$ liegt, ist $\langle b \rangle$ eine normale Untergruppe von $G$. Wir betrachten die Faktorgruppe $G/ \langle b \rangle$. Es gilt
	$$ |G/ \langle b \rangle | = \frac{|G|}{| \langle b \rangle |} = p^{n-1}q < p^nq. $$
	Nach Induktionsvoraussetzung enthält $G / \langle b \rangle$ eine Untergruppe $\bar{S}$ der Ordnung $p^{\alpha - 1}$. Es sei $S = \{ x \in G : x \langle b \rangle \in \bar{S} \}$. $S$ ist eine Untergruppe von G und es gilt $ \bar{S} \cong S/ \langle b \rangle$, denn für die natürliche Projektion $p: S \rightarrow \bar{S}$ gilt $\ker(p) = \langle b \rangle$ und somit ist der Homomorphiesatz anwendbar.
	Das liefert
	$$ p^{\alpha - 1} = |\bar{S}| = \frac{|S|}{| \langle b \rangle |} = \frac{|S|}{p}. $$
	Somit gilt $|S| = p^{\alpha}$ und $S$ ist die gesuchte $p$-Gruppe.
	
	\item Sei $H$ ein $p$-Untergruppe und $S$ ein $p$-Sylowuntergruppe. $H$ operiert auf die Menge $X = G/S$ durch
	$$ H \times X \rightarrow X, h \cdot gS := (hg)S.$$
	Es gilt $|X| = \frac{|G|}{|S|} = \frac{p^nq}{p^n} = q$. Da $H$ eine $p$-Gruppe ist, gilt $|X^H| = |X| = q \ (modp)$. Da $q$ prim zu $p$ ist, ist $|X^H|$ nicht durch $p$ teilbar. Insbesondere kann $X^H$ nicht leer sein, denn $p|0$. Es gibt also ein $g \in G$ mit $gS \in X^H$. Für alle $h \in H$ gilt dann $(hg)S = gS$ und somit $g^{-1}hg \in S$ und $h \in gSg^{-1}$. Dies liefert, dass $H$ in $gSg^{-1}$ enthalten ist.
	
	\item siehe unten.
\end{enumerate}
\end{proof}

\begin{kor}
	Die $p$-Sylowuntergruppen bilden eine Klasse von konjugierten Untergruppen von $G$.
\end{kor}

\begin{proof}
	Sei $S$ ein $p$-Sylowuntergruppe d.h. $|S| = p^n$. Dann ist $gSg^{-1}$ ein Untergruppe der Ordnung $p^n$ (für $g \in G$ beliebig), d.h. $gSg^{-1}$ ist eine $p$-Sylowuntergruppe. Es sei $S'$ ein beliebige Sylowuntergruppe von $G$. Aus 2. folgt: $S' \subseteq gSg^{-1}$ für ein $g \in G$. $|S'| = p^n = |gSg^{-1}|$ impliziert $S' = gSg^{-1}$.
\end{proof}

Bevor wir den dritten Teil des Sylow-Satzes beweisen, wenden wir uns folgender allgemeiner Frage zu: Wie bestimmt man die Anzahl der zu einer gegebenen Untergruppe konjugierten Untergruppen? Es sei $\mathcal{U}$ die Menge aller Untergruppen von G und $ G \times \mathcal{U} \rightarrow \mathcal{U}, g \cdot H \mapsto gHg^{-1} $ eine Gruppenoperation.

\begin{defn}
	Der Stabilisator einer Untergruppe $H$ von $G$ unter dieser Operation heißt \underline{Normalisator} von $H$: $N_G(H) = \{ g \in G: gHg^{-1} = H \}$. \\
	Die zu $H$ konjugierten Untergruppen bilden die Bahn $G \cdot H$ von $H$. Es gilt also
	$$ |G \cdot H| = | \{ A \in \mathcal{U} : A = gHg^{-1} \text{ mit } g \in G \} | = [G:N_G(H)] .$$
	Für eine endliche Gruppe $G$ ist diese Anzahl immer ein Teiler von $|G|$.
\end{defn}

Für den Beweis des dritten Teils benötigen wir folgendes Lemma:

\begin{lemma}\label{lem:Sylow}
	Sei $T$ eine $p$-Sylowuntergruppe von $G$ und $H$ eine $p$-Untergruppe. Wenn $H \subseteq N_G(T)$ gilt, gilt bereits $H \subseteq T$.
\end{lemma}

\begin{proof}
	Da $T$ eine normale Untergruppe von $N_G(T)$ ist und $H$ eine Untergruppe von $N_G(T)$ ist, kann man den ersten Isomorphiesatz anwenden: $TH = \{ gh : g \in T, h \in H \}$ ist eine Untergruppe von $N_G(T)$ und es gilt $H/(T \cap H) \cong TH/T$. Daraus folgt
	$$ [TH : T] = [H : T \cap H] = \frac{|H|}{|T \cap H|} = \frac{p^{\alpha}}{|T \cap H|} = p^{\alpha '} \text{ mit } 0 \leq \alpha ' \leq \alpha.$$
	$TH/T$ ist also eine $p$-Gruppe. Es gilt: $|TH/T| = 1 \Leftrightarrow T \cap H = H \Leftrightarrow H \subseteq T$. \\
	Die Inklusionskette $T \subseteq TH \subseteq G$ von Untergruppen ergibt
	$$[G:T] = [G:TH][TH:T] \Leftrightarrow q = [G:TH]p^{\alpha '} \text{, d.h. } p^{\alpha '} | q.$$
	Da $q$ nicht durch $p$ teilbar ist, muss $p^{\alpha '} = 1$ sein. Also ist $H$ in $T$ enthalten.
\end{proof}

\begin{proof}[Beweis des dritten Teils des Sylow-Satzes]
	Sei $X$ die Menge aller $p$-Sylowuntergruppen von $G$, $S \in X$ beliebig (Existenz: siehe Teil 1), $s := |X|$. Es gilt $s = [G:N_G(S)]$. \\
	Aus der Inklusionskette $S \subseteq N_G(S) \subseteq G$ folgt
	$$[N_G(S):S] [G:N_G(S)] = [G:S] \Leftrightarrow [N_G(S):S] s = q \text{, d.h. } s | q.$$
	Wir lassen $S$ wie folgt auf X operieren:
	$$S \times X \rightarrow X, g \cdot T \mapsto gTg^{-1}.$$
	$S \in X$ ist ein Fixpunkt dieser Operation. Wir möchten zeigen, dass dieser der einzige Fixpunkt ist. Da $S$ eine $p$-Gruppe ist, gilt dann: $s = |X| = |X^S| = 1 \pmod{p}$ (was zu zeigen war).
	\begin{align*}
		T \in X^S &\Leftrightarrow &gTg^{-1} = T \text{ für alle } g \in S \\
		&\Leftrightarrow &g \in N_G(T) \text{ für alle } g \in S \\
		&\Leftrightarrow &S \subseteq N_G(T)
	\end{align*}
	Aus $S \subseteq N_G(T)$ folgt mit Lemma~\ref{lem:Sylow}, dass $S \subseteq T$ und somit $S = T$ (da $|S| = |T| = p^n$). $S \in X$ ist damit der einzige Fixpunkt.
\end{proof}

\underline{Anwendungen/Folgerungen des Sylow-Satzes}

\begin{thm}
	Es seien $p, q$ Primzahlen mit $p < q$ und $p \nmid q-1$. Dann ist jede Gruppe $G$ der Ordnung $pq$ eine zyklische Gruppe.
\end{thm}

\begin{proof}
	Es sei $s$ die Anzahl der $p$-Sylowuntergruppen von $G$. Aus Teil 3 des Sylow-Satzes folgt $s | q, s \equiv 1 \pmod{p}$. Da $q \not \equiv 1 \pmod{p}$, muss $s = 1$ gelten, denn die Primzahl $q$ ist nur durch $1$ und $q$ teilbar. \\
	Es gibt also eine einzige $p$-Sylowuntergruppe $S$ von $G$. Aus Teil 2 des Sylow-Satzes folgt $gSg^{-1} = S$ für alle $g \in G$. Somit ist $S$ eine normale Untergruppe. \\
	Für die Anzahl $r$ der $q$-Sylowuntergruppen gilt: $r | p$ und $r \equiv 1 \pmod{q}$. Wenn $r = p$, dann gilt $r = p \not = 1 \pmod{q}$ (wegen $p < q$). Dies ist also nicht möglich. Es gilt dann $r = 1$. Es existiert genau eine $q$-Sylowuntergruppe $R$ von $G$ und $R$ ist deswegen ein Normalteiler von $G$. Da $S$ und $R$ normal sind, ist $SR = \{ ab : a \in S, b \in R\}$ eine normale Untergruppe. \\
	$S \cap R = \{ e\}$ (die Elemente müssen Ordnung $1$ haben). Dies ergibt, dass $SR$ das (innere) direkte Produkt von $S$ und $R$ ist. Insbesondere gilt $|SR| = |S \times R| = |S||R| = pq = |G|$. Folglich gilt $G = S \times R$. Man zeigt dann, $G = \langle ab \rangle \text{ mit } \langle a \rangle = S, \langle b \rangle = R$ zyklisch.
\end{proof}

% VL 16.06.
\begin{thm}
	Es existiert keine einfache Gruppe der Ordnung 30.
\end{thm}

\begin{proof}
	Es ist $|G| = 30 = 2\cdot 3\cdot 5$. Es seien $s$ die Anzahl der 5-Sylowuntergruppen und $t$ die der 3-Sylowuntergruppen. Angenommen, $G$ sei einfach. Dann gilt: $s>1$ und $t>1$, denn mit $s=1$ (bzw. $t=1$) wäre die 5-Sylowuntergruppe (bzw. 3-Sylowuntergruppe) normal wegen Konjugiertheit der Sylowgruppen zueinander (Teil 2 im Satz). Aus Teil (3) folgt
		\[ s|6,\; s\equiv 1(5)\Rightarrow s=6.\]
	Also gibt es 6 verschiedene 5-Sylowuntergruppen, jede davon hat Ordnung $5$. Damit enthalten die 5-Sylowuntergruppen zusammen $6\cdot 4 =24$ Elemente und das neutrale Element. Analog gilt für $t$
		\[ t|10,\; t\equiv 1(3) \Rightarrow t=10.\]
	Damit enthalten die 3-Sylowuntergruppen $10\cdot 2=20$ Elemente und das neutrale Element.
	
	Aber: $20+24+1=45>30=\ord(G)$. Also kann $G$ nicht einfach sein.
\end{proof}

\subsection{Normal- und Kompositionsreihen}

\begin{defn}
	Es sei $G$ eine Gruppe. Eine Normalreihe in $G$ ist eine Folge von Untergruppen
		\[ \{e\} = G_0 \subseteq G_1 \subseteq G_2 \subseteq\dots\subseteq G_n=G\qquad n\geq 1\qquad(n=0\text{ für } G=\{e\})\]
	so dass für alle $i,1\leq i\leq n$ $G_{i-1}$ Normalteiler von $G_i$ ist.
\end{defn}

\begin{nb}
	Die $G_i,\;i\leq n-2,$ sind nicht notwendigerweise Normalteiler von $G$.
\end{nb}

\begin{defn}
	Es seien 
		\[\begin{split}
			&\underline{G}: G_0\subseteq G_1 \subseteq\dots\subseteq G_n \\
			&\underline{H}: H_0\subseteq H_1\subseteq\dots\subseteq H_m 
		\end{split}\]
	zwei Normalreihen.
	\begin{itemize}
		\item $\underline{H}$ ist eine Verfeinerung von $\underline{G}$, wenn $\underline{H}$ aus $\underline{G}$ durch das Einfügen von Untergruppen erhalten werden kann.
		\item $\underline{G}$ und $\underline{H}$ heißen äquivalent, wenn $m=n$ gilt und es eine Permutation $\sigma\in S_n$ gibt, so dass 
		\[ G_j/G_{j-1}\cong H_{\sigma(j)}/H_{\sigma(j)-1}\]
			für alle $1\leq j\leq n$ gilt.
	\end{itemize}
\end{defn}

\begin{thm}
Es sei $G$ eine Gruppe, $\underline{G}$ und $\underline{H}$ Normalreihen in $G$. Dann besitzen $\underline{G}$ und $\underline{H}$ äquivalente Verfeinerungen.
\end{thm}

\begin{proof}
	Es seien 
	\[\begin{split}
			&\underline{G}: G_0\subseteq G_1 \subseteq\dots\subseteq G_n \\
			&\underline{H}: H_0\subseteq H_1\subseteq\dots\subseteq H_m 
		\end{split}\]
	die beiden Normalreihen. Wir setzen nun $G_{ij}:=G_i\cdot(G_{i+1}\cap H_j), H_{ij} := H_j\cdot(G_i\cap H_{j+1}$ für alle $i,j$ mit $G_{n+1}:=G=:H_{m+1}$.
	
	Es gilt nun: $G_{i,m}=G_{i+1}=G_{i+1,0}$ und $H_{n,j}=H_{j+1}=H_{0,j+1}$, so dass $\{G_{ij}\}$ und $\{H_{ij}\}$ Folgen von Untergruppen sind. Es ist klar, dass diese Verfeinerungen von $G$ bzw. $H$ von selber Länge sind. Wir müssen noch zeigen:
	\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
		\item $G_{ij}\subseteq G_{i,j+1}$ und $H_{ij}\subseteq H_{i,j+1}$ sind normal, damit beide Normalreihen sind,
		\item $G_{i,j+1}/G_{i,j}$ und $H_{i+1,j}/H_{i,j}$ sind beide isomorph zu $\nicefrac{(G_{i+1}\cap H_{j+1})}{(G_{i+1}\cap H_{j})\cdot(G_{i}\cap H_{j+1})}$.
	\end{enumerate}
	Dann sind die beiden Verfeinerungen äquivalent. Beweis von (a) und (b) erfolgt mit Anwendung der Isomorphiesätze.
\end{proof}

\begin{defn}
	Eine Normalreihe 
		\[\{e\}=G_0\subsetneqq G_1 \subsetneqq\dots\subsetneqq G_{n-1}\subsetneqq G_n=G \]
	heißt Kompositionsreihe, wenn sie keine echten Verfeinerungen besitzt.
\end{defn}

\begin{kor}[Satz von Jordan-Hölder]
	Es sei $G$ eine Gruppe. Zwei Kompositionsreihen in $G$ sind immer zueinander äquivalent.
\end{kor}

\begin{thm}
	Eine Normalreihe ist genau dann eine Kompositionsreihe, wenn die $G_i/G_{i-1}$ jeweils einfache Gruppen sind.
\end{thm}

\begin{proof}
	"$\Rightarrow$": Angenommen, $G_i/G_{i-1}$ sei für ein $i\leq n$ nicht einfach. Es sei dann $\bar{N}\subset G_i/G_{i-1}$ eine nicht triviale normale Untergruppe. Nun setzen wir 
		\[N:=\{g\in G_i: gG_{i-1}\in\bar{N}\}.\]
	Dann ist $N$ eine normale Untergruppe mit $\nicefrac{N}{G_{i-1}}=\bar{N}$. Aus $\{eG_{i-1}\}\subsetneqq\bar{N}\subsetneqq\nicefrac{G_i}{G_{i-1}}$ folgt $G_{i-1}\subsetneqq N\subsetneqq G_i$. Somit können wir $\{G_i\}$ mit $N$ verfeinern, also ist $\{G_i\}$ keine Kompositionsreihe.
	
	"$\Leftarrow$": Wenn $G_0\subsetneqq G_1\subsetneqq\dots\subsetneqq G_n$ eine echte Verfeinerung besitzt, so gibt es eine normale Untergruppe $G_{i-1}\subsetneqq N\subsetneqq G_i$, die $G_{i-1}$ als Normalteiler enthält. Die Faktorgruppe $\bar{N}:=\nicefrac{N}{G_{i-1}}$ ist dann eine nicht-triviale normale Untergruppe von $\nicefrac{G_i}{G_{i-1}}$. Also ist $G_i/G_{i-1}$ nicht einfach.
\end{proof}

\begin{thm}
	Jede endliche Gruppe besitzt eine Kompositionsreihe.
\end{thm}

\begin{proof}
	Übungsaufgabe.
\end{proof}

\begin{ex}

	\begin{itemize}
		\item Unendliche Gruppen besitzen nicht immer Kompositionsreihen. So hat $(\mathbb{Z},+)$ keine Kompositionsreihe, da man jede Normalreihe beliebig verfeinern kann.
		\item Jede symmetrische Gruppe $S_n,\; n\geq 3$ hat die Normalreihe
			\[\{e\}\subsetneqq A_n \subsetneqq S_n.\]
			In dieser Normalreihe haben wir die Faktorgruppen: $\nicefrac{S_n}{A_n}\cong\nicefrac{\mathbb{Z}}{2\mathbb{Z}}$ und $\nicefrac{A_n}{\{e\}}\cong A_n$. Nun ist $\nicefrac{\mathbb{Z}}{2\mathbb{Z}}$ einfach, da die Ordnung eine Primzahl ist, und für $n\neq 4$ ist $A_n$ einfach. Also ist die obige Normalreihe für diese Fälle eine Kompositionsreihe.
	\end{itemize}
\end{ex}

\begin{kor}
	Für $n\geq 3,n\neq 4$ ist $A_n$ die einzige Untergruppe von $S_n$ vom Index $2$. Damit ist $\{e\}\subset A_n\subset S_n$ die einzige Kompositionsreihe und $A_n$ die einzige nicht-triviale normale Untergruppe von $S_n$.
\end{kor}

\subsection{Auflösbare Gruppen}

\begin{defn}
	Eine Gruppe $G$ heißt auflösbar, wenn sie eine abelsche Normalreihe, das heißt eine Normalreihe mit abelschen Faktorgruppen besitzt.
\end{defn}

\begin{ex}
	\begin{itemize}
		\item Abelsche Gruppen sind immer auflösbar.
		\item Die Gruppe $G=\left\{\begin{pmatrix}
			a & b \\
			c & d \end{pmatrix} \in \text{GL}_2(K):c=0\right\}$ ist für jeden Körper $K$ auflösbar.
	\end{itemize}
\end{ex}

\begin{thm}
	Es sei $G$ eine Gruppe.
	\begin{itemize}
		\item Ist $G$ auflösbar, so ist jede Untergruppe von $G$ auflösbar.
		\item Ist $N$ eine normale Untergruppe von $G$, so ist $G$ genau dann auflösbar, wenn $N$ und $\nicefrac{G}{N}$ auflösbar sind.
	\end{itemize}
\end{thm}

\begin{proof}
	(Idee: $H\subset G$ Untergruppe, $G_0\subset G_1\subset\dots\subset G_n$ abelsche Normalreihe für $G$. Dann ist $(G_0\cap H)\subset(G_1\cap H)\subset\dots\subset(G_n\cap H)$ eine abelsche Normalreihe in $H$.)
\end{proof}

\begin{ex}
	Die symmetrische Gruppe $S_n$ ist auflösbar für $n\leq 4$. Die Fälle $n\leq 2$ sind sogar abelsch. Für $S_3$ erhalten wir die Kompositionsreihe
		\[\{e\}\subset A_3=\langle(123)\rangle\subset S_3\]
	mit Faktoren $\nicefrac{S_3}{A_3}\cong\nicefrac{\mathbb{Z}}{2\mathbb{Z}}$, $A_3\cong\nicefrac{\mathbb{Z}}{3\mathbb{Z}}$, die beide zyklisch und somit abelsch sind.
	
	Die Gruppe $S_4$ besitzt die Normalreihe
		\[\{e\}\subset V_4\subset A_4\subset S_4\]
	mit $V_4=\left\{\tau\in A_4:\tau^2=e\right\}=\{e,(12)(34),(13)(24),(14)(23)\}$, der kleinschen Vierergruppe. Dann ist $V_4\cong\nicefrac{\mathbb{Z}}{2\mathbb{Z}}\times\nicefrac{\mathbb{Z}}{2\mathbb{Z}}$ abelsch (denn die Ordnung ist $4=2^2=p^2$ für eine Primzahl $p$) und $\nicefrac{A_4}{V_4}\cong\nicefrac{\mathbb{Z}}{3\mathbb{Z}}$, $\nicefrac{S_4}{A_4}\cong\nicefrac{\mathbb{Z}}{2\mathbb{Z}}$ sind auch abelsch.
\end{ex}

\begin{thm}
	Die symmetrische Gruppe $S_n,\;n\geq 5$ ist nicht auflösbar.
\end{thm}

\begin{proof}
	Die Gruppe $A_n$ ist nicht auflösbar, da sie eine nicht abelsche einfache Gruppe ist. Da $A_n$ eine Untergruppe von $S_n$ ist, ist $S_n$ auch nicht auflösbar.
\end{proof}

\end{document}