01_Introduction/intro_to_qc.ipynb

{
 "cells": [
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "<table>\n",
    "    <tr>\n",
    "        <th><img src=\"../img/rqc.png\" href=\"http://www.rqc.ru/\" width=\"150px\"></th>\n",
    "        <th colspan=\"3\" align=left style=\"font-weight:normal\">\n",
    "            <p>• Anton Karazeev: <a href=\"mailto:a.karazeev@rqc.ru\">a.karazeev@rqc.ru</a> or <a href=\"https://t.me/akarazeev\">t.me/akarazeev</a></p>\n",
    "            <p>• Based on <a href=\"http://pyquil.readthedocs.io/en/latest/intro.html\">Introduction to Quantum Computing</a></p>\n",
    "            <p>• The latest version of this notebook is available <a href=\"https://github.com/RQC-QApp/Seminars\">here</a></p>\n",
    "        </th>\n",
    "    </tr>\n",
    "</table>"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "# От классического бита к кубиту / From Bit to Qubit"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Вероятностные биты как векторные пространства / Probabilistic Bits as Vector Spaces\n",
    "\n",
    "Возможные результаты измерения бита представим в виде ортонормированных базисных векторов $\\overrightarrow{0}$ и $\\overrightarrow{1}$. И назовём их <b>исходами</b>.\n",
    "\n",
    "Например, в двумерном пространстве базисные векторы можно представить следующим образом: $\\overrightarrow{0} = \\begin{pmatrix} 1 \\\\ 0 \\\\ \\end{pmatrix}$ и $\\overrightarrow{1} = \\begin{pmatrix} 0 \\\\ 1 \\\\ \\end{pmatrix}$.\n",
    "\n",
    "Выбор обусловлен следующим:\n",
    "- Они <b>нормированы</b> (их длины равны единице):\n",
    "\n",
    "    $(\\overrightarrow{0}, \\overrightarrow{0}) = \\overrightarrow{0}^T \\cdot \\overrightarrow{0} = \\begin{pmatrix} 1 & 0 \\end{pmatrix}$ $\\begin{pmatrix} 1 \\\\ 0 \\\\ \\end{pmatrix}$ $= 1 \\cdot 1 + 0 \\cdot 0 = 1 \\rightarrow \\text{length}\\left(\\overrightarrow{0}\\right) = \\sqrt{1} = 1$,\n",
    "    \n",
    "    $(\\overrightarrow{1}, \\overrightarrow{1}) = \\overrightarrow{1}^T \\cdot \\overrightarrow{1} = \\begin{pmatrix} 0 & 1 \\end{pmatrix}$ $\\begin{pmatrix} 0 \\\\ 1 \\\\ \\end{pmatrix}$ $= 0 \\cdot 0 + 1 \\cdot 1 = 1 \\rightarrow \\text{length}\\left(\\overrightarrow{1}\\right) = \\sqrt{1} = 1$;\n",
    "\n",
    "- И <b>ортогональны</b> (скалярное произведение равно $0$):\n",
    "\n",
    "    $(\\overrightarrow{1}, \\overrightarrow{0}) = (\\overrightarrow{0}, \\overrightarrow{1}) = \\overrightarrow{0}^T \\cdot \\overrightarrow{1} = \\begin{pmatrix} 1 & 0 \\\\ \\end{pmatrix}$ $\\begin{pmatrix} 0 \\\\ 1 \\\\ \\end{pmatrix}$ $= 1 \\cdot 0 + 0 \\cdot 1 = 0$.\n",
    "\n",
    "<div class=\"alert\" style=\"border: 0px; border-left: 3px solid #F0AD4E; color: black; background-color: #FFF1E3\">\n",
    "<b style=\"color: #9B5831;\">Обозначения</b>\n",
    "<br>\n",
    "$\\overrightarrow{v}^T$ означает <b>транспонирование</b> вектора $\\overrightarrow{v}$.\n",
    "<br>\n",
    "Операция $\\left(\\overrightarrow{u}, \\overrightarrow{v}\\right)$ называется операцией <b>скалярного произведения</b> векторов $\\overrightarrow{u}$ и $\\overrightarrow{v}$.\n",
    "<br>\n",
    "<b>Длиной</b> вектора $\\overrightarrow{v}$ называется величина $\\left\\vert\\overrightarrow{v}\\right\\vert = \\sqrt{\\left(\\overrightarrow{v}, \\overrightarrow{v}\\right)}$.\n",
    "</div>\n",
    "\n",
    "<div class=\"alert alert-success\" style=\"border: 0px; border-left: 3px solid #119a68; color: black; background-color: #daf0e9\">\n",
    "<b style=\"color: #119a68;\">Примеры</b>\n",
    "<br>\n",
    "<b>Транспонирование</b>: пусть $\\overrightarrow{v} = \\begin{pmatrix} 1 \\\\ 0 \\\\ \\end{pmatrix}$, тогда $\\overrightarrow{v}^T = \\begin{pmatrix} 1 & 0 \\end{pmatrix}$. В случае с матрицами: пусть $X = \\begin{pmatrix} 1 & 2 \\\\ 3 & 4 \\end{pmatrix}$, тогда $X^T = \\begin{pmatrix} 1 & 3 \\\\ 2 & 4 \\end{pmatrix}$.\n",
    "<br>\n",
    "<b>Скалярное произведение</b>: пусть $\\overrightarrow{u} = \\begin{pmatrix} u_1 \\\\ u_2 \\\\ \\end{pmatrix}$, $\\overrightarrow{v} = \\begin{pmatrix} v_1 \\\\ v_2 \\\\ \\end{pmatrix}$, тогда $\\left(\\overrightarrow{u}, \\overrightarrow{v}\\right) = \\overrightarrow{u}^T \\cdot \\overrightarrow{v} = \\begin{pmatrix} u_1 & u_2 \\end{pmatrix}$ $\\begin{pmatrix} v_1 \\\\ v_2 \\\\ \\end{pmatrix}$ $= u_1 \\cdot v_1 + u_2 \\cdot v_2$.\n",
    "</div>\n",
    "\n",
    "Эти исходы ($\\overrightarrow{0}$ и $\\overrightarrow{1}$) образуют двумерное векторное пространство, которое представляет <b>вероятностный бит</b>: $\\overrightarrow{v} = a\\cdot\\overrightarrow{0} + b\\cdot\\overrightarrow{1}$, где $a$ и $b$ - вероятности того, что бит принимает значение 0 или 1 соответственно. Очевидно, что $a + b$ должно равняться $1$.\n",
    "\n",
    "<b>Состояние</b> такой системы может быть представлено двумерным вектором на плоскости:"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 1,
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "image/png": "iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAWAAAAFiCAYAAADIqQJHAAAABHNCSVQICAgIfAhkiAAAAAlwSFlz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\nAAAASUVORK5CYII=\n",
      "text/plain": [
       "<matplotlib.figure.Figure at 0x10470fc88>"
      ]
     },
     "metadata": {},
     "output_type": "display_data"
    }
   ],
   "source": [
    "import numpy as np\n",
    "import matplotlib.pyplot as plt\n",
    "\n",
    "outcome_0 = np.array([1.0, 0.0])\n",
    "outcome_1 = np.array([0.0, 1.0])\n",
    "a = 0.75\n",
    "b = 0.25\n",
    "\n",
    "assert a + b == 1\n",
    "\n",
    "prob_bit = a * outcome_0 + b * outcome_1\n",
    "\n",
    "X, Y = prob_bit\n",
    "\n",
    "plt.figure(figsize=(5,5))\n",
    "plt.plot([a, 0], [b, b], '--', color='orange')\n",
    "plt.plot([a, a], [b, 0], '--', color='green')\n",
    "\n",
    "ax = plt.gca()\n",
    "ax.quiver(X, Y, angles='xy', scale_units='xy', scale=1)\n",
    "ax.set_xlim([0,1])\n",
    "ax.set_ylim([0,1])\n",
    "\n",
    "ax.quiver(0, Y, angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='green',\n",
    "          label='Проекция на направление $\\overrightarrow{1}$')\n",
    "ax.quiver(X, 0, angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='orange',\n",
    "          label='Проекция на направление $\\overrightarrow{0}$')\n",
    "\n",
    "plt.xlabel('$\\overrightarrow{0}$', fontsize=15)\n",
    "plt.ylabel('$\\overrightarrow{1}$', fontsize=15)\n",
    "plt.title('$\\overrightarrow{v} = {a}\\cdot\\overrightarrow{0} + {b}\\cdot\\overrightarrow{1}$'.format(0, 1, v='v',\n",
    "                                                                                                  a=a, b=b))\n",
    "\n",
    "plt.legend()\n",
    "\n",
    "plt.draw()\n",
    "plt.show()"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "По заданному вектору-состоянию можно найти вероятности исходов $0$ и $1$, если спроецировать $\\overrightarrow{v}$ на базисные векторы:\n",
    "$$Prob(0) = (\\overrightarrow{v}, \\overrightarrow{0}) = \\overrightarrow{v}^T \\cdot \\overrightarrow{0} = a,$$\n",
    "$$Prob(1) = (\\overrightarrow{v}, \\overrightarrow{1}) = \\overrightarrow{v}^T \\cdot \\overrightarrow{1} = b.$$\n",
    "\n",
    "<div class=\"alert\" style=\"border: 0px; border-left: 3px solid #F0AD4E; color: black; background-color: #FFF1E3\">\n",
    "<b style=\"color: #9B5831;\">Обозначения</b>\n",
    "<br>\n",
    "<b>Проекцией</b> вектора $\\overrightarrow{v}$ на направление $\\overrightarrow{n}$ называется $Proj_{\\overrightarrow{n}}(\\overrightarrow{v}) = \\frac{\\left(\\overrightarrow{v}, \\overrightarrow{n}\\right)}{\\left\\vert\\overrightarrow{n}\\right\\vert}$.\n",
    "<br>\n",
    "В случае с проекцией на нормированный вектор (например, $\\overrightarrow{0}$) знаменатель равен 1, следовательно, $Proj_{\\overrightarrow{0}}(\\overrightarrow{v}) = \\left(\\overrightarrow{v}, \\overrightarrow{0}\\right)$.\n",
    "</div>\n",
    "\n",
    "<div class=\"alert alert-success\" style=\"border: 0px; border-left: 3px solid #119a68; color: black; background-color: #daf0e9\">\n",
    "<b style=\"color: #119a68;\">Примеры</b>\n",
    "<br>\n",
    "Пусть $\\overrightarrow{v} = \\begin{pmatrix} a \\\\ b \\\\ \\end{pmatrix}$, тогда $Proj_{\\overrightarrow{0}}(\\overrightarrow{v}) = \\left(\\overrightarrow{v}, \\overrightarrow{0}\\right) = \\overrightarrow{v}^T \\cdot \\overrightarrow{0} = \\begin{pmatrix} a & b \\end{pmatrix}$ $\\begin{pmatrix} 1 \\\\ 0 \\\\ \\end{pmatrix}$ $= a \\cdot 1 + b \\cdot 0 = a$.\n",
    "</div>"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 2,
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "name": "stdout",
     "output_type": "stream",
     "text": [
      "Получаем, что a=0.75\n",
      "Получаем, что b=0.25\n"
     ]
    }
   ],
   "source": [
    "print(\"Получаем, что a={}\".format(prob_bit.dot(outcome_0)))\n",
    "print(\"Получаем, что b={}\".format(prob_bit.dot(outcome_1)))"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Обозначения Дирака / Dirac notation\n",
    "\n",
    "$\\overrightarrow{v} = |v\\rangle$ - вектор <b>кет</b>,\n",
    "\n",
    "$\\overrightarrow{v}^\\dagger = \\overrightarrow{v}^{*T} = \\langle v|$ - вектор <b>бра</b>,\n",
    "\n",
    "$\\overrightarrow{u}^\\dagger \\cdot \\overrightarrow{v} = \\langle u | v \\rangle$ - скалярное произведение векторов <b>бра</b> и <b>кет</b>.\n",
    "\n",
    "Можно переписать формулу для измерения вероятности:\n",
    "$$Prob(0) = \\langle v | 0 \\rangle = a,$$\n",
    "$$Prob(1) = \\langle v | 1 \\rangle = b.$$\n",
    "\n",
    "В текущем примере $a$ и $b$ действительные числа, но на самом деле в \"настоящих\" бра и кет векторах компоненты являются комплексными числами ${(\\in\\mathbb{C})}$.\n",
    "\n",
    "<div class=\"alert\" style=\"border: 0px; border-left: 3px solid #F0AD4E; color: black; background-color: #FFF1E3\">\n",
    "<b style=\"color: #9B5831;\">Обозначения</b>\n",
    "<br>\n",
    "<b>Комплексное сопряжение</b> числа $z = a + ib$ есть число $\\overline{z} = z^* = a - ib$, где $z\\in\\mathbb{C}$, $a,b\\in\\mathbb{R}$.\n",
    "<br>\n",
    "<b>Длиной</b> или <b>модулем</b> комплексного числа $z = a + ib$ называется действительное число $\\left\\vert{z}\\right\\vert = \\sqrt{z \\cdot z^*} = \\sqrt{a^2 + b^2} \\in\\mathbb{R}$.\n",
    "<br>\n",
    "Оператор $^\\dagger$ называется <b>эрмитовым сопряжением</b>.\n",
    "</div>\n",
    "\n",
    "<div class=\"alert alert-success\" style=\"border: 0px; border-left: 3px solid #119a68; color: black; background-color: #daf0e9\">\n",
    "<b style=\"color: #119a68;\">Примеры</b>\n",
    "<br>\n",
    "Пусть $|v\\rangle = \\begin{pmatrix} -i \\\\ 1 \\end{pmatrix}$, тогда $\\langle v| = \\overrightarrow{v}^\\dagger = \\begin{pmatrix} +i & 1 \\end{pmatrix}$.\n",
    "<br>\n",
    "Скалярное произведение: $\\langle v | v \\rangle = \\begin{pmatrix} +i & 1  \\end{pmatrix} \\cdot$ $\\begin{pmatrix} -i \\\\ 1 \\\\ \\end{pmatrix}$ $= 1 + 1 = 2$.\n",
    "</div>"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Тензорное произведение / [Kronecker product](https://en.wikipedia.org/wiki/Kronecker_product)\n",
    "\n",
    "<img src=\"img/kronecker_product.jpg\" width='50%'>\n",
    "\n",
    "<!-- $|00\\rangle = |0\\rangle \\otimes |0\\rangle =$ $\\begin{pmatrix} 1 \\\\ 0 \\\\ \\end{pmatrix}$ $\\otimes $ $\\begin{pmatrix} 1 \\\\ 0 \\\\ \\end{pmatrix} =$ $\\begin{pmatrix} {1 \\cdot \\begin{pmatrix} 1 \\\\ 0 \\\\ \\end{pmatrix}} \\\\ {0 \\cdot \\begin{pmatrix} 1 \\\\ 0 \\\\ \\end{pmatrix}} \\\\ \\end{pmatrix} =$ $\\begin{pmatrix} 1 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ \\end{pmatrix}$\n",
    "\n",
    "$|01\\rangle = |0\\rangle \\otimes |1\\rangle =$ $\\begin{pmatrix} 1 \\\\ 0 \\\\ \\end{pmatrix}$ $\\otimes$ $\\begin{pmatrix} 0 \\\\ 1 \\\\ \\end{pmatrix} =$ $\\begin{pmatrix} {1 \\cdot \\begin{pmatrix} 0 \\\\ 1 \\\\ \\end{pmatrix}} \\\\ {0 \\cdot \\begin{pmatrix} 0 \\\\ 1 \\\\ \\end{pmatrix}} \\end{pmatrix} =$ $\\begin{pmatrix} 0 \\\\ 1 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ \\end{pmatrix}$\n",
    "\n",
    "$\\ldots$ -->"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Несколько вероятностных бит / Multiple Probabilistic Bits\n",
    "\n",
    "Рассмотрим на примере двух монеток $u$ и $v$, орёл и решку обозначим за $0$ и $1$.\n",
    "\n",
    "Запишем состояния:\n",
    "\n",
    "$|u\\rangle = \\frac{1}{2} |0_u\\rangle + \\frac{1}{2} |1_u\\rangle$\n",
    "\n",
    "$|v\\rangle = \\frac{1}{2} |0_v\\rangle + \\frac{1}{2} |1_v\\rangle$, где $1_u$ обозначает исход $1$ у монетки $u$.\n",
    "\n",
    "У системы из двух монеток есть 4 варианта исходов: $\\left\\{ 0_u 0_v, 0_u 1_v, 1_u 0_v, 1_u 1_v \\right\\}$ - это и есть базис состояний четырёхмерного векторного пространства.\n",
    "\n",
    "<b>Комбинированное состояние</b> системы можно выразить через тензорное произведение: $|uv\\rangle = |u\\rangle \\otimes |v\\rangle = \\frac{1}{4}|0_u 0_v \\rangle + \\frac{1}{4}|0_u 1_v \\rangle + \\frac{1}{4}|1_u 0_v\\rangle + \\frac{1}{4}|1_u 1_v\\rangle$.\n",
    "\n",
    "Таким образом, <b>комбинированное пространство</b> это просто тензорное произведение всех пар базисных векторов меньших пространств.\n",
    "\n",
    "Можно встретить и такое обозначение: $\\otimes_{i=0}^{n-1}|v_i\\rangle = |v_0\\rangle \\otimes |v_1\\rangle \\otimes \\ldots \\otimes |v_{n-1}\\rangle = |v_0 v_1 \\ldots v_{n-1}\\rangle$\n",
    "\n",
    "<div class=\"alert alert-success\" style=\"border: 0px; border-left: 3px solid #119a68; color: black; background-color: #daf0e9\">\n",
    "<b style=\"color: #119a68;\">^-- Классика --^</b>\n",
    "</div>\n",
    "\n",
    "<div class=\"alert alert-success\" style=\"border: 0px; border-left: 3px solid #119a68; color: black; background-color: #daf0e9\">\n",
    "<b style=\"color: #119a68;\">v-- Квантовая Механика начинается здесь --v</b>\n",
    "</div>"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Кубиты / Qubits\n",
    "\n",
    "<b>Кубит</b> является квантовым аналогом классического бита, у него тоже есть два возможных исхода после измерения.\n",
    "\n",
    "<b>Система</b> из одного кубита это двумерное <b>комплексное</b> векторное пространство, а <b>состояние</b> кубита - комплексный вектор в этом пространстве (с помощью <b>сферы Блоха</b> можно как раз представить состояние кубита в векторном пространстве, но про это чуть позже).\n",
    "\n",
    "Задаём пространство исходов: $\\left\\{ |0\\rangle, |1\\rangle \\right\\}$, тогда состояние произвольного кубита запишется следующим образом: $\\alpha |0\\rangle + \\beta |1\\rangle$ (до этого было $a\\cdot\\overrightarrow{0} + b\\cdot\\overrightarrow{1}$).\n",
    "\n",
    "Так как коэффициенты могут быть мнимыми, то они не могут интерпретироваться как вероятности соответствующих исходов (чтобы получить действительное число - необходимо возводить в квадрат). Вместо этого перепишем формулы для вычисления вероятностей:\n",
    "$$Prob(0) = \\left\\vert\\langle v | 0 \\rangle\\right\\vert^2 = \\left\\vert\\alpha\\right\\vert^2,$$\n",
    "$$Prob(1) = \\left\\vert\\langle v | 1 \\rangle\\right\\vert^2 = \\left\\vert\\beta\\right\\vert^2,$$\n",
    "$$\\left\\vert\\alpha\\right\\vert^2 + \\left\\vert\\beta\\right\\vert^2 = 1,  \\alpha, \\beta \\in \\mathbb{C}.$$"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Сфера Блоха / Bloch Sphere\n",
    "\n",
    "Этот переход к комплескным векторам означает слудующее - вместо того, чтобы представлять вектор состояния на плоскости, мы будем представлять его на сфере.\n",
    "\n",
    "<div style=\"text-align: center;\"><img src=\"img/bloch.png\" width=\"500px\"/><a href=\"https://www.researchgate.net/publication/236883187_Quantum_Search_Algorithms_Quantum_Wireless_and_a_Low-Complexity_Maximum_Likelihood_Iterative_Quantum_Multi-User_Detector_Design\">Source</a></div>\n",
    "\n",
    "Состояние из нескольких кубит может быть точно так же представлено, если взять тензорные произведения пространств и состояний. Таким образом, система из $n$ кубит будет иметь $2^n$ возможных состояний."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Операции над кубитами / Qubits Operations\n",
    "\n",
    "### На примере IBM Q Experience [Composer](https://quantumexperience.ng.bluemix.net/qx/editor)\n",
    "\n",
    "<div style=\"text-align: center;\"><img src=\"img/composer.jpg\" width=\"300px\"/></div>\n",
    "\n",
    "Так выглядит простейшая квантовая цепь, состоящая из гейтов Адамара ($H$) и $CNOT$ (<b>Гейт</b> == Операция == Матрица). В конце стоят блоки, которые отвечают за <b>измерение</b> состояния кубит в базисе $\\sigma^z$.\n",
    "\n",
    "<div style=\"text-align: center;\"><img src=\"img/simulation.jpg\" width=\"600px\"/>Результаты симуляции</div>\n",
    "\n",
    "Начнём с простых операторов: тождественный оператор $I = \\begin{pmatrix} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix}$ и NOT-оператор $X = \\begin{pmatrix} 0 & 1 \\\\ 1 & 0 \\end{pmatrix}$.\n",
    "\n",
    "Квантовые состояния могут быть представлены как комплексные векторы на сфере Блоха, а квантовые операции как матрицы со следующими свойствами:\n",
    "- Обратимость ($U^{-1} = U^\\dagger = U^{*T}$),\n",
    "- Если их применить к вектору, лежащему на сфере Блоха, то результирующий вектор тоже будет лежать на сфере Блоха.\n",
    "\n",
    "Матрицы, которые удовлетворяют указанным свойствам, называются <b>унитарными</b>.\n",
    "\n",
    "Рассмотрим действие тождественного оператора:\n",
    "<br>\n",
    "$I |0\\rangle = \\begin{pmatrix} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix}$ $\\begin{pmatrix} 1 \\\\ 0 \\\\ \\end{pmatrix} =$ $\\begin{pmatrix} 1 \\\\ 0 \\\\ \\end{pmatrix}$ $= |0\\rangle,$\n",
    "<br>\n",
    "$I |1\\rangle = \\begin{pmatrix} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix}$ $\\begin{pmatrix} 0 \\\\ 1 \\\\ \\end{pmatrix} =$ $\\begin{pmatrix} 0 \\\\ 1 \\\\ \\end{pmatrix}$ $= |1\\rangle.$\n",
    "\n",
    "Действие оператора NOT:\n",
    "<br>\n",
    "$X |0\\rangle = \\begin{pmatrix} 0 & 1 \\\\ 1 & 0 \\end{pmatrix}$ $\\begin{pmatrix} 1 \\\\ 0 \\\\ \\end{pmatrix} =$ $\\begin{pmatrix} 0 \\\\ 1 \\\\ \\end{pmatrix}$ $= |1\\rangle,$\n",
    "<br>\n",
    "$X |1\\rangle = \\begin{pmatrix} 0 & 1 \\\\ 1 & 0 \\end{pmatrix}$ $\\begin{pmatrix} 0 \\\\ 1 \\\\ \\end{pmatrix} =$ $\\begin{pmatrix} 1 \\\\ 0 \\\\ \\end{pmatrix}$ $= |0\\rangle.$"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Операторы Паули / Pauli Operators\n",
    "\n",
    "$X = \\sigma_1 = \\begin{pmatrix} 0 & 1 \\\\ 1 & 0 \\end{pmatrix}$, $Y = \\sigma_2 = \\begin{pmatrix} 0 & -i \\\\ i & 0 \\end{pmatrix}$, $Z = \\sigma_3 = \\begin{pmatrix} 1 & 0 \\\\ 0 & -1 \\end{pmatrix}$.\n",
    "\n",
    "Матрицы Паули осуществляют поворот на 180 градусов вектора, который представляет состояние кубита на сфере Блоха. Например, гейт $X$ осуществляет поворот вокруг оси $x$ на 180 градусов"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Операции над несколькими кубитами / Multi-Qubit Operations\n",
    "\n",
    "Наиболее распространённым примером служит гейт Controlled-NOT (CNOT), который применяется к двум кубитам: $CNOT = \\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\end{pmatrix}$\n",
    "\n",
    "Состояние второго кубита меняется на противоположное тогда и только тогда, когда состояние первого кубита $|1\\rangle$.\n",
    "\n",
    "Рассмотрим действие оператора $CNOT$ на двухкубитные состояния:\n",
    "\n",
    "$CNOT |00\\rangle = \\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\end{pmatrix}$ $\\begin{pmatrix} 1 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ \\end{pmatrix}$ $= \\begin{pmatrix} 1 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ \\end{pmatrix} = |00\\rangle$\n",
    "\n",
    "$CNOT |01\\rangle = \\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\end{pmatrix}$ $\\begin{pmatrix} 0 \\\\ 1 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ \\end{pmatrix}$ $= \\begin{pmatrix} 0 \\\\ 1 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ \\end{pmatrix} = |01\\rangle$\n",
    "\n",
    "$CNOT |10\\rangle = \\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\end{pmatrix}$ $\\begin{pmatrix} 0 \\\\ 0 \\\\ 1 \\\\ 0 \\\\ \\end{pmatrix}$ $= \\begin{pmatrix} 0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 1 \\\\ \\end{pmatrix} = |11\\rangle$\n",
    "\n",
    "$CNOT |11\\rangle = \\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\end{pmatrix}$ $\\begin{pmatrix} 0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 1 \\\\ \\end{pmatrix}$ $= \\begin{pmatrix} 0 \\\\ 0 \\\\ 1 \\\\ 0 \\\\ \\end{pmatrix} = |10\\rangle$\n",
    "\n",
    "\n",
    "Другой пример двухкубитного гейта: $SWAP = \\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 \\end{pmatrix}$, который меняет состояния $|10\\rangle$ и $|01\\rangle$ местами."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Гейт Адамара / Hadamard Gate\n",
    "\n",
    "$H = \\frac{1}{\\sqrt{2}}\\begin{pmatrix} 1 & 1 \\\\ 1 & -1 \\end{pmatrix}$:\n",
    "\n",
    "$H|0\\rangle = \\frac{1}{\\sqrt{2}}\\begin{pmatrix} 1 & 1 \\\\ 1 & -1 \\end{pmatrix}$ $\\begin{pmatrix} 1 \\\\ 0 \\\\ \\end{pmatrix}$ $= \\frac{1}{\\sqrt{2}}$ $\\begin{pmatrix} 1 \\\\ 1  \\\\ \\end{pmatrix} = \\frac{1}{\\sqrt{2}} \\left(|0\\rangle + |1\\rangle\\right) = |+\\rangle$,\n",
    "\n",
    "$H|1\\rangle = \\frac{1}{\\sqrt{2}}\\begin{pmatrix} 1 & 1 \\\\ 1 & -1 \\end{pmatrix}$ $\\begin{pmatrix} 0 \\\\ 1 \\\\ \\end{pmatrix}$ $= \\frac{1}{\\sqrt{2}}$ $\\begin{pmatrix} 1 \\\\ -1 \\\\ \\end{pmatrix}$ $= \\frac{1}{\\sqrt{2}} \\left(|0\\rangle - |1\\rangle\\right) = |-\\rangle$.\n",
    "\n",
    "Можно видеть, что оба вектора таких состояний лежат на \"экваторе\" сферы Блоха. Вероятности обнаружить $0$ или $1$ после измерения одинаковы и равны $\\frac{1}{2}$.\n",
    "\n",
    "Таким образом, кубит в одном из таких состояний представляет монетку, которая равновероятно может упасть на орла или решку."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Иерархия: высокоуровневый язык программирования -> низкоуровневый компилятор\n",
    "\n",
    "<div style=\"text-align: center;\"><img src=\"img/hierarchy.jpg\" width=\"60%\"/><a href=\"https://www.nature.com/articles/nature18648\">Source</a></div>"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "- [ ] больше про тензорное произведение\n",
    "- [ ] про собственные значения/векторы матриц\n",
    "- [ ] теория про кубиты, про понятие измерения\n",
    "- [ ] про измерения в базисе"
   ]
  }
 ],
 "metadata": {
  "kernelspec": {
   "display_name": "Python 3",
   "language": "python",
   "name": "python3"
  },
  "language_info": {
   "codemirror_mode": {
    "name": "ipython",
    "version": 3
   },
   "file_extension": ".py",
   "mimetype": "text/x-python",
   "name": "python",
   "nbconvert_exporter": "python",
   "pygments_lexer": "ipython3",
   "version": "3.6.4"
  }
 },
 "nbformat": 4,
 "nbformat_minor": 2
}