Вычислить интеграл:
$$∫_0^∞\frac{e-α x^2 - e-2α x^2}xdx = I(α), α > 0$$
Продифференцируем интеграл по параметру $α$:
В силу признака Вейерштрасса полученный интеграл сходится равномерно на любой полупрямой
$[α_0; +∞)$, поэтому дифференцирование правомерно.
Отсюда находим $I(α)$:
$$I(α) = C$$
Найдём $C$:
Поскольку $f(t) = e-t ∈ C[0; ∞)$ и $∀ A > 0 ∃ ∫_A^∞\frac{f(t)}tdt$, то справедлива формула Фруллани:
$$∫_0^∞\frac{f(at) - f(bt)}tdt = f(0)ln\left(\frac ba\right)$$
Окончательно получаем:
$$∫_0^∞\frac{e-α x^2 - e-2α x^2}xdx = -\frac{ln2}2, ∀ α > 0$$