09A-Curves.md

Curves

Welche Darstellungsmöglichkeiten gibt es für eine Kurve in der Ebene?

• Explizite Darstellung:
  • $\gamma: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto y = f(x)$
• Implizite Darstellung:
  • $F(x, y) = 0$
• Parameterdarstellung
  • $\gamma: [a, b] \rightarrow R^2, t \mapsto X(t) = \left[\begin{array}{c}x_1(t)\x_2(t)\end{array}\right]$

Wie wird ein Kreis auf einer Ebene dargestellt?

• Explizite Darstellung:
  • $\gamma: [-r,r] \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto y = \sqrt{r^2-x^2}$ \textit{(oberer Halbkreis)}
  • $\gamma: [-r,r] \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto y = -\sqrt{r^2-x^2}$ \textit{(unterer Halbkreis)}
• Implizite Darstellung:
  • $x^2 + y^2 - r^2 = 0$
• Parameterdarstellung
  • $\gamma: [0,2\pi] \rightarrow R^2, t \mapsto X(t) = \left[\begin{array}{c}r \cos t\r \sin t\end{array}\right]$

Wie wird eine Kurve im Raum beschrieben?

$\gamma: [a,b] \rightarrow R^3,t \mapsto X(t) = \left[\begin{array}{c}x_1(t)\x_2(t)\x_3(t)\end{array}\right]$

In welche Gruppen werden Splines unterteilt?

- interpolierende Splines
    - kubische Splines
- approximierende Splines (B-Splines)
    - nicht rationale B-Splines
        - uniforme B-Splines
        - nicht uniforme B-Splines (klassische B-Splines)
    - rationale B-Splines
        - uniforme B-Splines
        - nicht uniformeB-Splines (NURBS)

Was sind die Eigenschaften der beiden Spline-Arten?

• interpolierende Splines
  • spezifiziert werden Punkte, durch welche die Kurve gehen soll
  • gehen exakt durch vorgegebene Punkt
  • Verhalten ist nur schwer vorauszusagen (Überschiessen, Oszillationen)
  • Schwierig, schöne glatte Kurven zu erhalten
  • am Rand wird es immer ungenauer
• approximierende Splines (B-Splines)
  • gehen nicht direkt durch alle Punkte
  • einige Punkte sind Kontrollpunkte
  • Kontrollpunkte beeinflussen die Form der Kurve
  • wird häufig in der Praxis verwendet

Wieso werden Kurven gebraucht?

• Begrenzung einer Fonts mit Hilfe von Bézier-Kurven
• Schwerpunkte von Objekten bewegen sich entlang von Kurven
• viele Objekte (wie Strassen, Räder, etc.) werden durch Kurven begrenzt
• Rotationsflächen werden durch eine Kurve erzeugt
• allgemeine Flächen werden durch zwei Kurvenscharen erzeugt

Wie funktioniert die Methode der unbestimmten Koeffizienten?

Gesucht: $P_3(x) = c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + c_3 x^3$ \newline

Punkte: $(0,1)$, $(1,1)$, $(2,0)$ und $(3,1)$ \newline

$\left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 \ 1 & 1 & 1 & 1 \ 1 & 2 & 4 & 8 \ 1 & 3 & 9 & 27 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} c_0 \ c_1 \ c_2 \ c_3 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} 1 \ 1 \ 0 \ 1 \end{array} \right]$ \newline

$\Rightarrow P_3(x) = 1 + \frac{3}{2}x - 2x^2 + \frac{1}{2}x^3$

Wie funktioniert die Methode nach Lagrange?

Gesucht ist ein Polynom 3. Grades durch die Punkte: \newline

$(x_0,f(x_0)) = (0,1), (x_1,f(x_1)) = (1,1), (x_2,f(x_2)) = (2,0), (x_3,f(x_3)) = (3,1)$ \newline

$L_0(x) = \dfrac{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3)} \hspace{5mm}$ $L_1(x) = \dfrac{(x-x_0)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)(x_1-x_3)}$

$L_2(x) = \dfrac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_3)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)(x_2-x_3)} \hspace{5mm}$ $L_3(x) = \dfrac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)}{(x_3-x_0)(x_3-x_1)(x_3-x_2)}$ \newline

$P_3(x) = L_0(x)f(x_0 ) + L_1 (x)f(x_1) + L_2(x)f(x_2 ) + L_3(x)f(x_3)$ \newline $= L_0(x) * 1 + L_1 (x) * 1 + L_2 (x) * 0 + L_3 (x) * 1$ \newline $= L_0(x) + L_1(x) + L_3(x)$

Welche Arten von Bézier Splines gibt es?

• Lineare Interpolation (linear Bézier spline)
  • $P(t) = (1-t)P_0 + tP_1$
• Quadratic Bézier spline
  • $P(t) = (1-t)^2 P_0 + 2(1-t)tP_1 + t^2P_2$
• Cubic Bézier spline
  • $P(t) = (1-t)^3 P_0 + 3(1-t)^2 tP_1 + 3(1-t)t^2 P_2 + t^3 P_3$

Wie sind die Bernsteinpolynome definiert?

$B_i^n(t) = \binom{n}{i} (1-t)^{n-i} t^i$ für $(0 \leq i \leq n)$

Was sind die Eigenschaften von Bézier-Kurven?

• Beispiel für eine Kurve mit zwei Kontrollpunkten:
  • beginnt bei $P_0$ und verläuft dort in Richung $P_1$
  • endet in $P_3$ und ist dort tangential an $P_3 - P_2$
• Kurve liegt immer innerhalb der konvexen Hülle des Linienzuges
• Anzahl der Kontrollpunkte bestimmt den Grad $n$ der Kurve
• Änderung eines Kontrollpunktes bewirkt eine Änderung der gesamten Kurve

Was sind die Eigenschaften von B-Spline-Kurven?

• verallgemeinerung von Bézier-Kurven
• basieren auf:
  • rekursiv definierten rationalen
  • oder nicht rationalen B-Spline-Funktionen
  • oder Basis-Funktionen
• Änderung der Kontrollpunkte haben nur lokalen Einfluss
• Grad ist abhängig von der Anzahl Kontrollpunkte
• falls Parameterwerte äquidistant sind hat man uniforme, sonst nicht uniforme B-Spline-Kurven

Wie werden B-Spline-Kurven berechnet?

$B_{n,k}(t) = \sum_{j=0}^n N_{j,k}(t)P_j, \hspace{5mm}$ $(0 \leq t \leq n - k + 2)$ wobei $2 \leq k \leq n + 1$ \newline

$N_{j,1}(t) = \begin{cases} 1 & für \hspace{1mm} t_j \leq t \leq t_{j+1} \ 0 & sonst \end{cases}$ \newline

$N_{j,m}(t) = \dfrac{t-t_j}{t_{j+m-1}-t_j} N_{j,m-1}(t) + \dfrac{t_{j+m} - t}{t_{j+m}-t_{j+1}} N_{j+1,m-1}(t), \hspace{5mm} m=2,3,\dots,k$ \newline

$t_j = \begin{cases} 0, & für \hspace{1mm} j < k \ j-k+1, & für \hspace{1mm} k \leq j \leq n, \hspace{2mm} 0 \leq j \leq n + k\ n-k+2, & für \hspace{1mm} j > n \end{cases}$ \newline

$t = (t_o, t_1, \dots, t_{n+k}), \hspace{2mm} j = i, \dots, i + k, \hspace{2mm} für \hspace{1mm} i = 0, \dots, n$

Wie werden rationale B-Splines-Kurven (NURBS) berechnet?

$P_j = (x_j, y_j, z_j) \equiv C_j = (x_j w_j, y_j w_j, z_j w_j, w_j)$ \newline

$P_H(t) = \sum_{j=0}^n N_{j,k}(t) C_j$ \newline

$P(t) = \dfrac{\sum_{j=0}^n N_{j,k}(t) w_j P_j}{\sum_{j=0}^n N_{j,k}(t) w_j}$

Was sind NURBS-Kurven?

• Non Uniform Rational Basic Splines
• allgemeinste Form von Freiformkurven
• erweitern die Funktionalität der Bézier- und B-Spline-Kurven
  • durch zusätzliche Gewichte $w_i$
  • die homogene Koordinate, für die Koordinaten der Kontrollpunkte
• Bézier- und B-Spline-Kurven sind Spezialfälle von NURBS-Kurven
• NURBS sind invariant bei den Transformationen
  • Skalierung, Translation, Rotation, Scherung und den Parallel- und Perspektivprojektionen