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# Modelos Lineales Generalizados Mixtos {#glmm}
Los modelos lineales generalizados mixtos (glmm) fueron propuestos por [@breslow_clayton_93] y en ellos se asume que existe una relación entre el vector de observaciones $\boldsymbol{Y}_i$ del sujeto o grupo $i$ y las covariables por medio de la siguiente expresión
\begin{equation}
\begin{aligned}
\boldsymbol{Y}_i \mid \boldsymbol{b}_i &\sim \mathcal{F}(\boldsymbol{X}_i \boldsymbol{\beta} + \boldsymbol{Z}_i \boldsymbol{b}_i, \phi), \\
\boldsymbol{b}_i &\sim \mathcal{N}(\boldsymbol{0}, \boldsymbol{D}),
\end{aligned}
(\#eq:glmm1)
\end{equation}
donde $\mathcal{F}$ corresponde a una distribución de la familia exponencial que incluye las distribuciones normal, Poisson, binomial negativa, gamma e inversa gaussiana.
Las matrices $\boldsymbol{X}_i$ y $\boldsymbol{Z}_i$ son matrices de diseño conocidas con la información de las covariables, siendo $\boldsymbol{X}_i$ de dimensión $n_i \times p$ y $\boldsymbol{Z}_i$ de dimensión $n_i \times q$. El elemento $\boldsymbol{\beta}$ representa el vector de efectos fijos general, $\boldsymbol{b}_i$ el vector de efectos aleatorios exclusivo para el grupo $i$.
El vector $\boldsymbol{b}_i$ en la expresión \@ref(eq:glmm1) es llamado efecto aleatorio porque éste cambia la media de sujeto a sujeto y su función es la de mejorar el ajuste general dado por el elemento $\boldsymbol{X}_i \boldsymbol{\beta}$ al agregar la cantidad $\boldsymbol{Z}_i \boldsymbol{b}_i$. El modelo dado en la expresión \@ref(eq:glmm1) es llamado también modelo mixto porque involucra tanto efectos fijos ($\boldsymbol{\beta}$) como efectos aleatorios ($\boldsymbol{b}_i$).
La distribución marginal de $\boldsymbol{Y}_i$ está dada por
\begin{equation}
f_i(\boldsymbol{Y}_i) = \int f(\boldsymbol{Y}_i | \boldsymbol{b}_i) f(\boldsymbol{b}_i) \, d \boldsymbol{b}_i
\end{equation}
donde $f(\boldsymbol{Y}_i | \boldsymbol{b}_i)$ corresponde a la densidad normal, Poisson, binomial negativa, gamma o inversa gaussina y $f(\boldsymbol{b}_i)$ corresponde a la distribución normal bivariada mostrada en \@ref(eq:glmm1).
La función de verosimilitud para el vector de parámetros $\boldsymbol{\Theta}=(\boldsymbol{\beta}, \phi, \boldsymbol{D})^\top$ se puede escribir como
$$
L(\boldsymbol{\Theta}) = \prod_{i=1}^{n} \int f(\boldsymbol{Y}_i | \boldsymbol{b}_i) f(\boldsymbol{b}_i) \, d \boldsymbol{b}_i .
$$
## Videos de apoyo
A continuación se muestran los videos sobre glmm creados por la profesora [Christina Knudson](https://cknudson.com/). Esta lista de reproducción contiene varios con explicaciones sencillas sobre los glmm que sirven como introducción al tema. A continuación el primer video de la lista de reproducción.
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A continuación se muestran los videos sobre glmm creados por [Mark Williamson](https://www.youtube.com/channel/UCwzN8tWciVw743qzxG0NIjA/featured).
<iframe width="560" height="315" src="https://www.youtube.com/embed/nh6zh9sN3As" title="YouTube video player" frameborder="0" allow="accelerometer; autoplay; clipboard-write; encrypted-media; gyroscope; picture-in-picture" allowfullscreen></iframe>