13-yuyu0830

[yuyu0830]

🔗 문제 링크

가장 긴 증가하는 부분 수열 2(12015)

✔️ 소요된 시간

1시간

✨ 수도 코드

❓ 문제

최대 길이 1,000,000의 수열 A가 주어진다. 모든 숫자가 오름차순으로 배치된 수열을 증가하는 수열 이라고 할 때, 수열 A의 가장 긴 증가하는 부분 수열의 길이를 구하자!
(수열의 각 숫자의 최대 값은 1,000,000이다.)

❗ 풀이

문제 자체는 간단한데 풀이가 좀 조악했다. 처음 생각했던 방법은 숫자의 최대값이 1,000,000 이기 때문에 각 숫자별로 뭔가 저장하는게 아닐까 하는 생각을 했었다. 하지만 도저히 또렷한 해결책이 생각나진 않았다...

1️⃣ O(N^2)

O(N^2) 로 푸는 방법은 명백했다. arr[i] 의 가장 긴 증가하는 부분 수열의 길이 를 m[i] 라고 할 때, arr[j] (0 <= j < i) 중에서 arr[i]보다 작고 m[j]가 가장 큰 수를 골라 m[i] = m[j] + 1 을 반복하면 된다. 물론 최대 길이가 1,000,000 이기 때문에 O(N ^2)로는 풀 수 없었다. 골머리를 싸매다가 결국 LIS를 O(N log N) 으로 해결하는 법을 찾았다.

2️⃣ O(N log N)

결국 우리가 찾아야하는 것은 "arr[j] 값이 arr[i]보다 작고 m[j]가 가장 큰 j 값" 를 찾아야 한다. 여기서 우린 저 값을 찾기 위해 앞의 모든 값을 다 뒤져볼 필요 없이 "arr[i] 값보다 작은 값의 최대 m[j] 값" 을 저장해두고 그 값만 참조하면 O(N log N) 의 시간복잡도로 문제를 해결할 수 있다!
즉 배열 m[i] 는 "i 개의 숫자로 만들 수 있는 배열의 마지막 요소가 될 수 있는 값중 가장 작은 값" 이다!

1. 우선 arr[i] 값을 순차적으로 탐색한다.
2. 만약 arr[i] 값이 m[cnt - 1] 보다 크다면 (arr[i] 값이 앞선 모든 값보다 크다면) m[cnt++] 값을 arr[i]로 바꾼다.
3. 만약 arr[i] 값이 m[cnt - 1] 보다 작다면 arr[i] 보다 작은 m[j] 중 가장 큰 값을 찾는다. 이 때, 탐색에는 이진 탐색을 사용한다.
4. arr[i] 와 m[j] 가 값이 같다면 별다른 조치 없이 다음 탐색을 이어간다.
5. arr[i] 가 m[j + 1] 보다 작다면 m[j + 1] 을 arr[i]로 바꾼다.

#include <iostream>

#define NUM 1000001
#define fastio ios_base::sync_with_stdio(false); cin.tie(nullptr); cout.tie(nullptr);

using namespace std;

int n, cnt = 1;
int arr[NUM] = {0, };
int m[NUM] = {0, };

// Binary Search
int bs(int value) {
    int low = 0, mid, high = cnt - 1;

    while (low <= high) {
        mid = (low + high) / 2;

        if (m[mid] == value)
            return -1;

        if (value < m[mid]) high = mid - 1;
        else low = mid + 1;
    }

    return mid + (value < m[mid] ? -1 : 0);
}

int main() {
    fastio;

    cin >> n;
    for (int i = 0; i < n; i++)  
        cin >> arr[i];

    for (int i = 0; i < n; i++) {
        // if arr[i] is bigger than before
        if (arr[i] > m[cnt - 1]) {
            m[cnt++] = arr[i];
            continue;
        } 

        // if arr[i] is smaller than before 
        // find arr[i]'s position   
        int t = bs(arr[i]);
        // change m[t] to arr[i]
        m[t + 1] = arr[i] < m[t + 1] ? arr[i] : m[t + 1];
    }

    printf("%d\n", cnt - 1);
}

📚 새롭게 알게된 내용

출처 나무위키 - 최장 증가 부분 수열https://namu.wiki/w/%EC%B5%9C%EC%9E%A5%20%EC%A6%9D%EA%B0%80%20%EB%B6%80%EB%B6%84%20%EC%88%98%EC%97%B4#s-3.1)

[InSange]

최장 증가 부분 수열 알고리즘 되게 오랜만에 보는 것 같습니다..
초반에 헷갈리는 부분이 있었는데 나무위키를 보고 단박에 이해 해버렸습니다.

특히 첫 번째 알고리즘에서 두 번째 알고리즘으로 넘어가기 위해 이진 탐색을 도입해준줄 알았는데 그럼 정렬되지 않은 배열로 나타날텐데 왜 이진 탐색을 사용한거지?에서 시작했는데 나무 위키에서 설명하듯 코드에서도 밑에 보면 작은 값이 들어갈 수 있는 범위 자리를 탐색하여 그 자리에서부터 그 자리보다 큰 값을 탐색하고 갱신하는 방법이 되게 신기했습니다.

[seongwon030]

저는 가장 긴 증가하는 부분수열을 처음 보는데요. 올려주신 나무위키 문서를 보니까 잘 이해되고 새로운 알고리즘을 배울 수 있었네요! O(n2)의 시간복잡도를 가지는 풀이는 모든 배열요소를 순회하기 때문에 순회할 때마다 부분수열의 길이를 저장하고, 각 부분수열마다 제일 마지막 요소(제일 큰 수)와 비교해서 부분수열의 길이를 더해가는게 복잡도가 엄청 줄어드는게 신기했습니다.