SIR model

介紹

SIR模型（SIR Model）是一個用於模擬傳染病在群體中傳播的數學模型。它的名稱來自於三個變數：易感者（Susceptible, S）、感染者（Infectious, I）和康復者（Recovered, R）。這個模型首次由Kermack和McKendrick在1927年提出，是流行病學中最基本的模型之一。

概念

• 易感者（S）： 這是指在某一特定時刻，尚未被感染但有可能會被感染的個體數量。
• 感染者（I）： 這是指在某一特定時刻，已被感染並能夠傳播疾病的個體數量。
• 康復者（R）： 這是指在某一特定時刻，已經從疾病中康復的數量。

模型假設

• 總人口固定(不會移出移入): 即$N = S(t) + I(t) + R(t)$ 是定值。
• 接觸機率固定: 假設每個個體與其他個體間接觸的機率相同
• 免疫性: 康復者不會二次感染

數學表示

SIR 模型可以使用 ODE 來描述，方程如下:

$$ \begin{equation} \begin{cases} \frac{dS}{dt} = -\beta S I \\ \frac{dI}{dt} = \beta S I - \gamma I \\ \frac{dR}{dt} = \gamma I \end{cases} \end{equation} $$

其中

• $\beta$ 是傳染率: 表示易感者和感染者接觸時的感染率
• $\gamma$ 是康復率: 表示感染者恢復轉變成康復者的速率

特徵

• 再生數: $R_0 = \frac{\beta}{\gamma}$ : 如果 $R_0 > 1$ 代表疾病會在群體中擴散，反之如果 $R_0 < 1$ 疾病會逐漸消失
• 疾病階段
  • 初期: 感染者數量急速上升
  • 高峰: 感染者達到高峰後開始下降
  • 穩定階段: 感染者數量下降到 0，大部分人成為康復者

應用

SIR 模型可以用來研究各種傳染病的傳播，例如 COVID-19，有助於理解疾病的流行特徵，評估疫苗、防疫政策的效果，並且預測疾病爆發趨勢和規模。

目標

我們想要模擬並拓展 SIR 模型來探討傳染病在不同條件下的傳播動態，也就是說傳統的 SIR 模型只有三種人: 易感者、感染者和康復者，很明顯現實世界中並不僅只有這三種，為了更真實地反映傳染病在現實世界中的傳播動態，我們將在基本的 SIR 模型基礎上引入更多變數和參數。具體來說，我們將考慮以下擴展：

• 死亡率 (Mortality rate): 現實中，一些感染者可能會因為疾病嚴重而死亡，這群人不再轉為康復者，而是變成了死亡者。
• 再次確診率 (Reinfection Rate): 某些疾病可能不會產生持久的免疫效果，意味著康復者在一段時間後可能再次成為易感者。

數學表示

$$ \begin{cases} \frac{dS}{dt} = -\beta S I + \delta R \\ \frac{dI}{dt} = \beta S I - \gamma I - \mu I \\ \frac{dR}{dt} = \gamma I - \delta R \\ \frac{dD}{dt} = \mu I \end{cases} $$

其中： $\mu$ 表示感染者的死亡率，$\delta$ 表示康復者再次變為易感者的速率。

這是個非常難解決的微分方程，於是我們想透過模擬的方式或者說數值方式解決。

架構圖

模擬方式

工具

• JAVA (JDE 19)
• JAVAFX (22)

設計

• 給使用者設定參數 (總人口、傳染率、再感染率、康復率、模擬天數、初始三區域感染人數)
• 三種地區 (城市、小城市、鄉村)
• 模擬每天的人口分布 (健康者、感染者)
• 跑數據圖顯示 (總人口數、未感染者數、康復者數、感染者數)

使用者介面

模擬人口地圖介面

數據圖介面

Class_Parameter

定義共用參數

1. 總人口數
2. 感染率（%）
3. 再感染率（%）
4. 康復率（%）
5. 死亡率（%）
6. 模擬天數
7. 城市的初始感染人數
8. 郊區的初始感染人數
9. 鄉村的初始感染人數
10. 移動步數

參數

private int

1. 總人口數
2. 感染率（%）
3. 再感染率（%）
4. 康復率（%）
5. 死亡率（%）
6. 模擬天數
7. 城市的初始感染人數
8. 郊區的初始感染人數
9. 鄉村的初始感染人數
10. 移動步數

方法

1. public Parameter(int total_population, int infection_rate, int reinfection_rate,int recovery_rate, int mortality_rate, int moving_times)：建構子，初始化物件的各個變數
2. 各變數的 Getter 和 Setter

Class_UI

定義輸入介面，給使用者設定可控參數。

需要輸入的參數

1. 總人口數
2. 感染率（%）
3. 再感染率（%）
4. 康復率（%）
5. 死亡率（%）
6. 模擬天數
7. 城市的初始感染人數
8. 郊區的初始感染人數
9. 鄉村的初始感染人數

變數

1. 各參數的標籤 （Label）
2. 各參數的輸入框（private TextField）
3. 各參數的數值（private int）
4. 錯誤提醒（private Label）
5. 確認按扭（private Button）

方法

1. public void start()：初始化使用者輸入介面，顯示視窗
2. private VBox paint_window()：用 Grid 配置參數的標籤和輸入框
3. private void handle_enter_button_click()：按下確認扭後取得各輸入框的數值並存入對應的變數， 如果輸入不符合的值則顯示錯誤提醒
4. private void reset_field_borders()：如果輸入正確，還原輸入框顏色
5. private void highlight_invalid_fields()：將輸入不符合型態的輸入格標記為紅色框
6. 各個參數的 getter 和 setter

當使用者輸入不符合格式的資料，顯示錯誤提醒

Class_Human

用來模擬每個人口的狀況、移動模擬、碰撞偵測、(康復、死亡、感染)模擬。

設定

• 位置 (x, y)
• 狀態 (未感染者、康復者、感染者、死亡者)
• 感染率
• 是否在通道，還是在城市裡

模擬走路函式

總共分成了兩種情況: 在城市裡面走路、在通道裡面走路。

若在城市裡面走路:

下一位置為 $(x', y') = (x + Rcos(\theta), y + Rsin(\theta))$

• R 為每個人走路的幅度
• $\theta$ 是走下一步的角度 (隨機 0~360度)

若在通道裡面走路:

則維持和通道平行的角度，一路走到另外一個城市不換角度。

碰撞偵測

因為人不會是單一個點，所以設定在範圍九宮格內，只要有接觸到感染者就會去判斷是否被感染

康復/死亡

每一天過完，會把所有感染者拿出來判斷他們是否會康復、死亡或繼續保持感染。

Class_Map

用來畫出目前的模擬地圖，以及人口的分布地圖

地區模擬

初始各地區人口佔比

• 城市人口佔比: 60%
• 小城市人口佔比: 30%
• 鄉村人口佔比: 10%

設計理念: 大城市很多人地區又很大，小城市區域小但是人卻很多，鄉村跟小城市大小差不多，但是人很少。

地區初始化

• 邊界: 0
• 大城市: 1
• 小城市: 2
• 鄉村: 3
• 垂直通道: 4
• 平行通道: 5
• 其他(視為障礙不可走的地區): -1

人口地圖初始化

• 未感染者+康復者: 1
• 感染者: 2

畫圖

利用格點化圖的方式

pixelWriter.setColor(x,y,color)

地圖的話把邊界設成黑色，可行走地區是白色，不可行走地區是藍色，方便使用者觀看。

人口的畫把未感染者或康復者設成綠色，感染者則設成紅色，死亡者不會出現在地圖上。

Class_DataChart

顯示死亡人數(黑)，健康人數(綠)，康復人數(藍)，感染人數(紅)的數據圖

參數

1. 死亡人數，健康人數，康復人數，感染人數（private final XYChart.Series<Number, Number>）
2. xy軸（private NumberAxis）
3. 數據圖（private LineChart<Number, Number>）

方法

1. public DataChart(int total_days, int total_population)：建構子，根據total_days、total_population初始化xy軸的尺度
2. public void start()：初始化數據圖，顯示視窗
3. public void update_data(int day, int susceptible, int infection, int health, int total)：更新day的人數資料

數據圖樣式設定（chart_style.css）

設定各數據線的顏色和粗細、圖例符號和顏色

/* 設定各數據線的顏色和粗細 */
.chart-series-line.series0 {
    -fx-stroke: blue;
    -fx-stroke-width: 2px;
}

.chart-series-line.series1 {
    -fx-stroke: red;
    -fx-stroke-width: 2px;
}

.chart-series-line.series2 {
    -fx-stroke: green;
    -fx-stroke-width: 2px;
}

.chart-series-line.series3 {
    -fx-stroke: black;
    -fx-stroke-width: 2px;
}

/* 設定各個數據線的圖例符號和顏色 */
.chart-legend {
    -fx-background-color: transparent;
    -fx-padding: 10px;
    -fx-border-color: transparent;
}

.chart-legend-item {
    -fx-font-size: 14px;
    -fx-text-fill: black;
    -fx-padding: 1px;
}

.chart-legend-item-symbol.series0 {
    -fx-background-color: blue; 
}

.chart-legend-item-symbol.series1 {
    -fx-background-color: red; 
}

.chart-legend-item-symbol.series2 {
    -fx-background-color: green; 
}

.chart-legend-item-symbol.series3 {
    -fx-background-color: black; 
}

Reference

• (Chen, Yi-Cheng) A Time-dependent SIR model for COVID-19 with Undetectable Infected Persons
• (LIU, YIN-TZU) Study on the Change of the Number of Cases of Notifiable Infectious Diseases in the COVID-19 Epidemic Prevention Strategy – A Case of Taiwan